[论文解读] A note on maximizing the difference between a monotone submodular function and a linear function.

Alina Ene|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 4

一句话总结

本文提出了一种简单且可扩展的算法，用于在基数约束和拟阵约束下最大化一个单调亚模函数与一个线性函数之间的差值。通过使用一个常数缩放因子，并对缩放后的目标函数应用标准的贪心算法，该方法在离线、在线和流式模型中均实现了强大的近似保证，且计算开销极低。

ABSTRACT

Motivated by team formation applications, we study discrete optimization problems of the form $\max_{S\in\mathcal{S}}\left(f(S)-w(S) ight)$, where $f:2^{V} o\mathbb{R_{+}}$ is a non-negative monotone submodular function, $w:2^{V} o\mathbb{R}_{+}$ is a non-negative linear function, and $\mathcal{S}\subseteq2^{V}$. We give very simple and efficient algorithms for classical constraints, such as cardinality and matroid, that work in a variety of models, including the offline, online, and streaming. Our algorithms use a very simple scaling approach: we pick an absolute constant $c\geq1$ and optimize the function $f(S)-c\cdot w(S)$ using a black-box application of standard algorithms, such as the classical Greedy algorithm and the single-threshold Greedy algorithm. These algorithms are based on recent works that use (time varying) scaling combined with classical algorithms such as the discrete and continuous Greedy algorithms (Feldman, WADS'19; Harshaw \emph{et al.}, ICML'19).

研究动机与目标

• 解决团队组建及类似的离散优化问题，目标是最大化一个单调亚模函数与一个线性函数之间的差值。
• 为这类问题在经典约束（如基数约束和拟阵约束）下开发高效算法。
• 确保在多种计算模型（包括离线、在线和流式环境）中的适用性。
• 提供一种简单而有效的方法，避免使用复杂的时间可变缩放方案，同时保持强大的理论保证。

提出的方法

• 该方法采用一个常数缩放因子 $ c \geq 1 $，将原始目标函数 $ f(S) - w(S) $ 转换为 $ f(S) - c \cdot w(S) $。
• 对缩放后的目标函数应用标准的黑箱算法（如经典贪心算法和单阈值贪心算法）。
• 该方法借鉴了近期研究中使用时间可变缩放的算法，但用固定常数替代了其复杂的缩放机制，以提升简洁性和效率。
• 通过依赖底层贪心方法的鲁棒性，该算法被设计为模块化，并兼容多种模型，包括离线、在线和流式环境。
• 关键洞察在于，仅使用一个常数缩放因子即可实现强大的近似比，而不会牺牲性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以通过一种简单的常数缩放方法，在基数约束和拟阵约束下，为最大化亚模函数减去线性函数的问题实现强大的近似保证？
• RQ2 在不同模型中，固定缩放因子与时间可变缩放方案相比，在性能和效率方面表现如何？
• RQ3 标准贪心算法是否可通过一种简单变换被有效重用于此类问题？
• RQ4 所提出方法在离线、在线和流式环境中的理论性能保证是什么？
• RQ5 与先前方法相比，该方法是否在显著降低算法复杂度的同时，仍能保持强大的近似比？

主要发现

• 所提出的算法在基数约束和拟阵约束下，对最大化 $ f(S) - w(S) $ 实现了常数因子的近似保证。
• 通过使用固定的缩放因子 $ c \geq 1 $，该方法简化了优化过程，同时保持了强大的理论性能。
• 该方法在多种模型（离线、在线和流式）中均表现有效，且无需针对不同模型进行特定调整。
• 该算法的高效性源于将标准贪心算法作为黑箱重用，从而降低了实现复杂度。
• 与先前工作中更复杂的时变缩放方案相比，该方法性能相当或更优，且计算开销显著降低。