[论文解读] On Integer Additive set-Sequential Graphs

Sudev Naduvath, K. A. Germina|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 10被引用 7

一句话总结

本文将集合-序列标记（set-sequential labeling）的概念扩展至整数加法集合索引器，提出整数加法集合-序列标记（IASSL），其中顶点和边被赋予非负整数集合标签，使得基集 X 的所有非空子集均被唯一表示为顶点或边的标签。关键结果为：仅当图是不连通图且具有孤立顶点时，才可能具有 IASSL，且此类图必须恰好具有 ρ′ 个孤立顶点，其中 ρ′ 是 X 的子集中既非任何子集的和集也非任何子集的加数的子集数量。

ABSTRACT

A set-labeling of a graph $G$ is an injective function $f:V(G) o \mathcal{P}(X)$, where $X$ is a finite set of non-negative integers and a set-indexer of $G$ is a set-labeling such that the induced function $f^{\oplus}:E(G) ightarrow \mathcal{P}(X)-\{\emptyset\}$ defined by $f^{\oplus}(uv) = f(u){\oplus}f(v)$ for every $uv{\in} E(G)$ is also injective. A set-indexer $f:V(G) o \mathcal{P}(X)$ is called a set-sequential labeling of $G$ if $f^{\oplus}(V(G)\cup E(G))=\mathcal{P}(X)-\{\emptyset\}$. A graph $G$ which admits a set-sequential labeling is called a set-sequential graph. An integer additive set-labeling is an injective function $f:V(G) ightarrow \mathcal{P}(\mathbb{N}_0)$, $\mathbb{N}_0$ is the set of all non-negative integers and an integer additive set-indexer is an integer additive set-labeling such that the induced function $f^+:E(G) ightarrow \mathcal{P}(\mathbb{N}_0)$ defined by $f^+ (uv) = f(u)+ f(v)$ is also injective. In this paper, we extend the concepts of set-sequential labeling to integer additive set-labelings of graphs and provide some results on them.

研究动机与目标

• 将集合-序列标记的概念扩展至整数加法集合索引器。
• 研究具有整数加法集合-序列标记（IASSL）的图的存在性及其结构性质。
• 针对给定的有限基集 X（非负整数集），刻画具有 IASSL 的图。
• 确定图具有整数加法集合-序列索引器（IASSI）的必要且充分条件。

提出的方法

• 将整数加法集合标记（IASL）定义为从 V(G) 到 P(ℕ₀) 的单射函数 f，其中 ℕ₀ 为非负整数集。
• 引入诱导函数 f⁺: E(G) → P(ℕ₀)，定义为 f⁺(uv) = f(u) + f(v)，即顶点标签的和集。
• 在 V(G) ∪ E(G) 上定义扩展函数 f*，使得对顶点有 f*(x) = f(x)，对边有 f*(e) = f⁺(e)。
• 建立 f* 必须为单射，且其像集必须覆盖基集 X 的所有非空子集。
• 利用和集的集合论性质，识别出既非任何子集的和集也非任何子集的加数的 X 的子集，记为集合 B，其基数为 ρ′。
• 证明仅当图恰好具有 ρ′ 个孤立顶点时，才可能具有 IASSL，且这些孤立顶点必须被标记为 B 中的元素。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于给定的有限非负整数基集 X，哪些图能具有整数加法集合-序列标记（IASSL）？
• RQ2 图必须满足何种结构条件才能具有整数加法集合-序列索引器（IASSI）？
• RQ3 连通图能否具有 IASSL？若不能，原因是什么？
• RQ4 图中为具有 IASSI 所需的孤立顶点的确切数量是多少？该数量与基集 X 的关系如何？
• RQ5 X 的子集和集的性质如何影响 IASSL 的存在性？

主要发现

• 无连通图能具有整数加法集合-序列标记（IASSL），因为此类图需要一个标记为 {0} 的顶点，这将与诱导函数 f* 的单射性矛盾。
• 仅当树恰好有 2^{|X|-1} 个顶点时，才可能具有 IASSL，该结果由方程 2^{|X|} - 1 = 2n - 1 推导得出。
• 图具有 IASSI 当且仅当其恰好有 ρ′ 个孤立顶点，其中 ρ′ 是 X 的子集中既非任何子集的和集也非任何子集的加数的子集数量。
• 在任何 IASS 图中，{0} 必须是某个顶点的标签，且该顶点必须是孤立的，因为若其与任何其他顶点相邻，将违反单射性。
• 对于任意非空有限非负整数集 X，均存在至少一个图，使其相对于 X 具有 IASSI。
• IASSI 的存在性在很大程度上取决于基集 X 的结构，因为不同的 X 可能导致同一图允许或不允许 IASSL。