[论文解读] On Legendre's, Brocard's, Andrica's, and Oppermann's Conjectures

Germán Paz|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2013

Analytic Number Theory Research参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文研究了猜想1：即在 $ n^2 $ 和 $ (n+1)^2 $ 之间严格存在的 $ n $ 个连续整数的每一个序列中，至少包含一个素数。它证明了，如果猜想1对所有 $ n $ 成立，则勒让德猜想、布罗卡猜想、安迪卡猜想和奥珀曼猜想均随之成立。作者通过计算验证了在所有 $ n \leq 1,193,806,023 $ 范围内猜想1成立，为这些长期存在的素数分布猜想提供了强有力的经验证据。

ABSTRACT

Let $n\in\mathbb{Z}^+$. Is it true that every sequence of $n$ consecutive integers greater than $n^2$ and smaller than $(n+1)^2$ contains at least one prime number? In this paper we show that this is actually the case for every $n \leq 1,193,806,023$. In addition, we prove that a positive answer to the previous question for all $n$ would imply Legendre's, Brocard's, Andrica's, and Oppermann's conjectures, as well as the assumption that for every $n$ there is always a prime number in the interval $[n,n+2\lfloor\sqrt{n} floor-1]$.

研究动机与目标

• 研究关于连续平方数之间素数分布的新猜想的有效性。
• 建立该猜想与素数数论中四个主要未解猜想（勒让德、布罗卡、安迪卡和奥珀曼猜想）之间的逻辑联系。
• 为所有 $ n \leq 1,193,806,023 $ 提供该猜想的计算验证。
• 证明若该猜想为真，则对所有正整数 $ n $，区间 $[n, n + 2\lfloor\sqrt{n}\rfloor - 1]$ 中必然存在一个素数。

提出的方法

• 形式化猜想1：即在 $ (n^2, (n+1)^2) $ 内的任意 $ n $ 个连续整数序列中至少包含一个素数。
• 使用最大素数间隔法：对于后接最大间隔 $ G $ 的素数 $ P $，若 $ G < \lfloor\sqrt{P}\rfloor $，则猜想1对所有 $ n \in [G-1, \lfloor\sqrt{P}\rfloor - 1] $ 成立。
• 应用计算验证，确认在 $ n = 1,193,806,023 $ 以内猜想1成立。
• 推导其蕴含关系：若猜想1为真，则勒让德、布罗卡、安迪卡和奥珀曼猜想也必然为真。
• 若猜想1为真，则可证明区间 $[n, n + 2\lfloor\sqrt{n}\rfloor - 1]$ 对所有 $ n $ 均包含至少一个素数。
• 利用下取整函数恒等式与不等式，比较区间长度，证明 $ a + 2\lfloor\sqrt{a}\rfloor - 1 \geq a + \lfloor\sqrt{a}\rfloor $，从而支持更广泛区间的结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ n^2 $ 和 $ (n+1)^2 $ 之间严格存在的每个 $ n $ 个连续整数序列中，是否都至少包含一个素数？
• RQ2 若猜想1对所有 $ n $ 成立，它是否在逻辑上蕴含勒让德、布罗卡、安迪卡和奥珀曼猜想？
• RQ3 猜想1可被计算验证的最大 $ n $ 是多少？
• RQ4 在假设猜想1成立的前提下，是否可保证对所有 $ n $，区间 $[n, n + 2\lfloor\sqrt{n}\rfloor - 1]$ 中都包含一个素数？
• RQ5 $ n $ 和 $ \lfloor\sqrt{n}\rfloor $ 的奇偶性如何影响子区间中素数存在的推论？

主要发现

• 猜想1已在所有 $ n \leq 1,193,806,023 $ 范围内通过计算验证为真。
• 若猜想1对所有 $ n $ 成立，则勒让德猜想——即在 $ n^2 $ 与 $ (n+1)^2 $ 之间总存在一个素数——作为其推论成立。
• 相同假设也蕴含布罗卡猜想，即对 $ n \geq 2 $，在 $ p_n^2 $ 与 $ p_{n+1}^2 $ 之间至少存在四个素数。
• 安迪卡猜想——即 $ \sqrt{p_{n+1}} - \sqrt{p_n} < 1 $——也由猜想1所蕴含。
• 奥珀曼猜想——即对 $ n > 1 $，在 $ (n^2 - n, n^2) $ 和 $ (n^2, n^2 + n) $ 中均至少存在一个素数——可由猜想1推出。
• 若猜想1为真，则对所有正整数 $ n $，区间 $[n, n + 2\lfloor\sqrt{n}\rfloor - 1]$ 中均至少包含一个素数。