[论文解读] On local geometry of vector distributions with given Jacobi symbols

Boris Doubrov, Igor Zelenko|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文引入雅可比符号作为括号生成向量分布的离散、可分类不变量，实现了具有给定雅可比符号的分布的规范标架（绝对平行化）的统一代数构造。该文建立了有限型分布的有限延拓过程，将辛平坦模型识别为最大对称代表，并将所得延拓代数与旗曲线对称性的标准延拓联系起来，特别是通过在有理正规曲线的割线簇上消失的多项式理想实现关联。

ABSTRACT

Based on the ideas of Optimal Control, we introduce the new basic characteristic of a bracket generating distribution, the Jacobi symbol. In contrast to the classical Tanaka symbol, the set of Jacobi symbols is discrete and classifiable. We give an explicit and unified algebraic procedure for the construction of the canonical frames (the structure of absolute parallelism) for all distribution with given Jacobi symbol. We describe all Jacobi symbols for which this procedure ends up in a finite number of steps (i.e. all Jacobi symbols of finite type) and distinguish the symplectically flat distributions with given Jacobi symbol, which in the case of finite type are the maximally symmetric distribution among all distribution with given Jacobi symbol. Also, for the most of Jacobi symbols we relate the prolongation procedure and the resulting prolongation algebra, which is the algebra of infinitesimal symmetries of the corresponding symplectically flat distribution, to the standard (in the sense of Kobayashi and Sternberg) prolongation of certain subspace in the algebra of infinitesimal symmetries of the flat (unparametrized) curve of flags associated with the Jacobi symbol. Finally, we give an upper bounds for the size of the resulting prolongation algebra in terms of certain spaces of polynomials vanishing on certain projective varieties. For some class of Jacobi symbols we are able to identify the resulting prolongation algebra with such spaces of polynomials. In this way we get the description of the prolongation algebra for all Jacobi symbols of finite type appearing in rank 2 and rank 3 distributions and also for most of such Jacobi symbols appearing in rank 4 distributions. In particular, in the case of rank 3 distributions this description is given in terms of the tangential developable and the secant varieties of a rational normal curve.

研究动机与目标

• 为括号生成向量分布开发一种新的离散不变量——雅可比符号，以替代更复杂且难以分类的坦卡符号。
• 为所有具有给定雅可比符号的分布提供一种统一的代数方法，用于构造规范标架（绝对平行化）。
• 对有限型雅可比符号进行分类，即那些延拓过程在有限多步内终止的符号。
• 将辛平坦分布识别为在给定雅可比符号下所有分布中最大对称的模型。
• 将辛平坦模型的延拓代数与平坦旗曲线对称代数的标准延拓联系起来，特别是通过限制到参数化对称性。

提出的方法

• 将雅可比符号作为从辛化过程导出的离散不变量引入，将等价问题简化为辛旗曲线的外几何时几。
• 采用最优控制启发的技术定义雅可比符号，并证明其在局部微分同胚等价下的不变性。
• 通过基于雅可比符号的统一代数延拓过程构造规范标架，避免对坦卡符号的分类。
• 将辛平坦模型的延拓代数与平坦无参数旗曲线对称代数的标准延拓联系起来。
• 将延拓代数识别为在射影代数曲面上消失的齐次多项式空间，特别是有理正规曲线的割线与切线簇。
• 将理论应用于秩为2、3及大多数秩为4的分布，显式计算了割线簇上消失的行列式理想形式的延拓代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为括号生成分布定义一种离散且可分类的不变量，以替代坦卡符号，并实现规范标架的统一构造？
• RQ2 对于哪些雅可比符号，延拓过程在有限步内终止（即有限型）？这些符号的特征是什么？
• RQ3 对于给定雅可比符号，辛平坦分布是否为所有此类分布中最大对称的模型？
• RQ4 辛平坦模型的延拓代数与平坦旗曲线对称代数的标准延拓之间有何关系？
• RQ5 能否通过代数几何方法显式描述延拓代数，例如使用在割线或切线簇上消失的多项式空间，特别是有理正规曲线的？

主要发现

• 雅可比符号是括号生成分布的离散、可分类不变量，为坦卡符号提供了一种更易处理的替代方案。
• 为所有具有给定雅可比符号的分布建立了一种统一的代数构造规范标架的方法，避免了分支与分类问题。
• 在给定雅可比符号下，辛平坦分布是所有此类分布中最大对称的模型，尤其适用于有限型符号。
• 对于具有矩形杨图雅可比符号的秩3分布，延拓代数同构于 $\mathfrak{sl}_2 \times \mathfrak{gl}_2$ 在 $E_1 \otimes \mathbb{R}^2$ 上的作用，且当 $n > 6$ 时第一级延拓为零。
• 对于秩2、秩3及大多数秩4的有限型雅可比符号，延拓代数通过有理正规曲线割线簇上消失的多项式理想显式描述。
• 当 $n=6$ 时，延拓代数同构于 $\mathfrak{so}(4,3)$，与文献中已知结果一致。