[论文解读] On loop Deligne--Lusztig varieties of Coxeter-type for inner forms of ${ m GL}_n$

Charlotte Chan, Alexander B. Ivanov|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 30被引用 5

一句话总结

本文为局部非阿基米德域上的 $\mathrm{GL}_n$ 的内形式构造了环路 Deligne–Lusztig 代数簇，证明其 $\ell$-进上同调实现了广泛类别的不可约超临界表示——具体而言，即那些 Langlands 参数通过一个非分歧椭圆环面的表示。关键结果是 $\pm R_T^G(\theta)$ 在几乎所有此类表示中均为不可约，并与局部 Langlands 对应及 Jacquet–Langlands 对应一致，从而在先前工作之外，提供了几何的、局部的且显式的实现方式。

ABSTRACT

For a reductive group $G$ over a local non-archimedean field $K$ one can mimic the construction from the classical Deligne--Lusztig theory by using the loop space functor. We study this construction in special the case that $G$ is an inner form of ${ m GL}_n$ and the loop Deligne--Lusztig variety is of Coxeter type. After simplifying the proof of its representability, our main result is that its $\ell$-adic cohomology realizes many irreducible supercuspidal representations of $G$, notably almost all among those whose L-parameter factors through an unramified elliptic maximal torus of $G$. This gives a purely local, purely geometric and -- in a sense -- quite explicit way to realize special cases of the local Langlands and Jacquet--Langlands correspondences.

研究动机与目标

• 为局部域上 $\mathrm{GL}_n$ 的内形式提供一种简化且更令人满意的环路 Deligne–Lusztig 代数簇的定义。
• 将超临界表示的几何实现从原始特征扩展到更广泛的类。
• 建立这些代数簇的上同调实现局部 Langlands 对应与 Jacquet–Langlands 对应，适用于几乎所有 $L$-参数通过非分歧椭圆环面的超临界表示。
• 发展研究局部域上 Coxeter 型 Deligne–Lusztig 代数簇上同调的新几何方法，将 Lusztig 的结果推广至非正则情形。

提出的方法

• 构造一个定义在 $\overline{\mathbb{F}}_q$ 上的概形 $X$，其配备 $G \times T$ 的作用，其中 $G = \mathbf{G}(K)$，$T = \mathbf{T}(K) \cong L^\times$，$\mathbf{G}$ 为 $\mathrm{GL}_n$ 的内形式。
• 将 $\theta$-同调分量 $R_T^G(\theta)$ 定义为 $X$ 的 $\ell$-进 Euler 示性数，其中 $\theta: T \to \overline{\mathbb{Q}}_\ell^\times$ 为光滑特征，将经典 Deligne–Lusztig 理论推广至环路情形。
• 利用非常正则元素 $T \cong L^\times$ 上的迹方法与特征关系，利用迹在非分歧扩张上消失的性质。
• 应用 Frobenius 同伦等价性与紧致诱导的次数公式，证明 $R_T^G(\theta)$ 不可约且同构于唯一的超临界表示 $\pi_{i_0}$。
• 利用 $U_L^1$ 的有限商群上特征的线性无关性，当 $\theta|_{U_L^1}$ 处于一般位置时，确认 $\chi_{i_0} = \theta$。
• 通过 $K^\times$ 的特征进行扭变，将问题约化至 $\theta|_Z$ 为酉的情形，并利用体积与次数公式计算重数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $\mathrm{GL}_n$ 的内形式，环路 Deligne–Lusztig 代数簇能否在原始特征情形之外，提供一种纯粹局部的、几何的局部 Langlands 对应实现？
• RQ2 这些代数簇的上同调在多大程度上实现了 $L$-参数通过非分歧椭圆环面的超临界表示？
• RQ3 能否发展新的几何方法，以分析局部域上 Coxeter 型 Deligne–Lusztig 代数簇的上同调，特别是当特征 $\theta$ 不正则时？
• RQ4 如何利用非常正则元素上表示的迹来识别 $R_T^G(\theta)$ 的不可约分量并证明其不可约性？
• RQ5 在 Jacquet–Langlands 对应下，特征 $\theta$ 与所得超临界表示 $\pi_{\theta}$ 之间的确切关系为何？

主要发现

• 当 $p > n$ 时，若 $\theta|_{U_L^1}$ 在 $\operatorname{Gal}(L/K)$ 中的稳定子平凡，则 $\theta$-同调分量 $\pm R_T^G(\theta)$ 为 $G = \mathbf{G}(K)$ 的不可约超临界表示。
• 表示 $R_T^G(\theta)$ 实现了局部 Langlands 对应：其同构于 $\mathrm{LL}(\sigma_\theta)$，其中 $\sigma_\theta = \operatorname{Ind}_{\mathcal{W}_L}^{\mathcal{W}_K}(\theta \cdot \mu)$。
• 表示 $R_T^G(\theta)$ 同样实现了 Jacquet–Langlands 对应：其在 $\mathrm{JL}$ 下的像为 $\pi_\theta$，与 Howe 的构造一致。
• 当 $\theta|_{U_L^1}$ 处于一般位置时，上同调 $R_T^G(\theta)$ 不可约且同构于唯一的超临界表示 $\pi_{i_0}$，重数为一。
• 通过在 $U_L^1 / U_L^{h'}$ 上特征的线性无关性，确立了 $\chi_{i_0} = \theta$，表明 $\theta$ 是唯一与非常正则元素上迹匹配的特征。
• 证明依赖于迹在非分歧扩张上消失的性质，以及涉及 Haar 测度与体积的次数公式，确认 $R_T^G(\theta)$ 仅含一个不可约分量。