[论文解读] On Mœglin's parametrization of Arthur packets for p-adic quasisplit $Sp(N)$ and $SO(N)$

Bin Xu|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文全面综述了 Mœglin 对 $p$-进拟分裂辛群与正交群 $Sp(N)$ 和 $SO(N)$ 的 Arthur 包的参数化方法，将其与 Arthur 的原始框架进行比较。研究证明，Arthur 包中的表示由涉及 $W_F \times SL(2,\mathbb{C}) \times SL(2,\mathbb{C})$ 的 $L$-参数参数化，其中第二个 $SL(2,\mathbb{C})$ 因子编码了单值性数据，并证明 Mœglin 的构造在这些参数与包中不可约表示之间建立了双射关系。

ABSTRACT

We give a survey on Mœglin's construction of representations in the Arthur packets for $p$-adic quasisplit symplectic and orthogonal groups. The emphasis is on comparing Mœglin's parametrization of elements in the Arthur packets with that of Arthur.

研究动机与目标

• 澄清并系统化 Mœglin 对 $p$-进拟分裂 $Sp(N)$ 和 $SO(N)$ 的 Arthur 包中表示的构造，这些表示相较于一般线性群情形仍较不为人所知。
• 将 Mœglin 对 Arthur 包元素的参数化与 Arthur 的原始框架进行比较，尤其关注 $L$-参数及其几何解释。
• 确立广义 Speh 表示 $Sp(St(\rho,a),b)$ 是辛群与正交群的离散系与 Arthur 包的构建块。
• 证明通过 $L$-参数 $\psi: W_F \times SL(2,\mathbb{C}) \times SL(2,\mathbb{C}) \to GL(n,\mathbb{C})$ 的参数化，其中 $\psi|_{W_F}$ 为酉表示，$\psi|_{SL(2,\mathbb{C}) \times SL(2,\mathbb{C})}$ 为代数表示，可与包中不可约表示建立双射。
• 将广义 Aubert 对合理论扩展至辛与正交情形，仅限于初等参数，并证明其与参数化的一致性。

提出的方法

• 利用 Zelevinsky 的 $GL(n)$ 分类理论定义段 $[x,y]$ 及广义段（即行与列递减/递增的矩阵），其唯一不可约子表示记为 $<\{x_{ij}\}_{m\times n}>$。
• 将广义 Speh 表示 $Sp(St(\rho,a),b)$ 构造为正规化诱导 $\prod_{i=-(b-1)/2}^{(b-1)/2} St(\rho,a)||^{i}$ 的唯一不可约子表示，其由特定的 $m\times n$ 指数矩阵编码。
• 通过满足 $\sum l_i a_i b_i d_{\rho_i} = N$ 的元组 $(\rho_i, a_i, b_i, l_i)$ 参数化 $Sp(N)$ 和 $SO(N)$ 的 Arthur 包，包中元素为 $\prod_i \big(\prod_{j=1}^{l_i} Sp(St(\rho_i,a_i),b_i)\big)$。
• 识别出 $L$-参数 $\psi = \bigoplus l_i (\rho_i \otimes \nu_{a_i} \otimes \nu_{b_i})$，其中 $\nu_k$ 为 $SL(2,\mathbb{C})$ 的 $(k-1)$ 阶对称幂表示，并证明该参数化与包中元素构成双射。
• 对包中表示应用广义 Aubert 对合 $inv_{<X_0}$，其通过抛物诱导与限制于 $<x_0$-段的 Jacquet函子定义，并通过迹恒等式证明其与参数化的相容性。
• 利用恒等式 $[inv_{<X_0}(\pi)] = \overline{inv}_{<X_0}([\pi])$，并通过内酉设定下的根系与 Weyl 群分析，证明初等参数下广义 Aubert 图（6.9）与（6.17）的交换性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Mœglin 对 $p$-进 $Sp(N)$ 与 $SO(N)$ 的 Arthur 包表示的参数化方法与 Arthur 的原始框架有何异同？
• RQ2 用于分类 $Sp(N)$ 与 $SO(N)$ 的 Arthur 包中表示的 $L$-参数 $\psi: W_F \times SL(2,\mathbb{C}) \times SL(2,\mathbb{C}) \to GL(n,\mathbb{C})$ 的精确结构是什么？
• RQ3 广义 Speh 表示 $Sp(St(\rho,a),b)$ 如何作为辛群与正交群的离散系与 Arthur 包构造的构建块出现？
• RQ4 广义 Aubert 对合在何种意义下与 Arthur 包参数化相容？在何种条件下其与包结构可交换？
• RQ5 在 $L$-参数中，第二个 $SL(2,\mathbb{C})$ 因子在编码 Arthur 包中表示的单值性数据方面起什么作用？

主要发现

• Mœglin 的构造在 $p$-进 $Sp(N)$ 与 $SO(N)$ 的 Arthur 包中不可约表示与 $L$-参数 $\psi: W_F \times SL(2,\mathbb{C}) \times SL(2,\mathbb{C}) \to GL(n,\mathbb{C})$ 之间建立了双射，其中 $\psi|_{W_F}$ 为酉表示，$\psi|_{SL(2,\mathbb{C}) \times SL(2,\mathbb{C})}$ 为代数表示。
• 广义 Speh 表示 $Sp(St(\rho,a),b)$ 被实现为 $b$ 个 $St(\rho,a)$ 的正规化诱导的唯一不可约子表示，其特征为从 $||^{-(b-1)/2}$ 到 $||^{(b-1)/2}$ 的扭变，对应于一个特定的 $b \times a$ 指数矩阵。
• $Sp(N)$ 与 $SO(N)$ 的 Arthur 包由 $l_i$ 个 $Sp(St(\rho_i,a_i),b_i)$ 的乘积生成，总维数条件为 $\sum l_i a_i b_i d_{\rho_i} = N$。
• 在 $L$-参数中，第二个 $SL(2,\mathbb{C})$ 因子编码了单值性数据，其中 $\nu_{a_i}$ 为 $(a_i-1)$ 阶对称幂表示，该因子对区分包中表示至关重要。
• 广义 Aubert 对合 $inv_{<X_0}$ 保持包结构，并在限制于初等参数时与参数化相容，此结论通过迹恒等式与根系上的 Weyl 群作用得到证明。
• 当 $G(n - \sum a_i d_{\rho_i}) = SO(2)$ 时，扭曲 Jacquet 函子与未扭曲版本相差一个符号，但在特征迹中相互补偿，因此对所有 $f \in C_c^\infty(G \rtimes \theta_0)$，有 $f_G(inv^\theta_{<X_0}(\pi^{\Sigma_0})) = f_G(inv_{<X_0}(\pi^{\Sigma_0}))$ 成立。