[论文解读] On Minimal Valid Inequalities for Mixed Integer Conic Programs

Fatma Kılınç-Karzan|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2014

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 46被引用 4

一句话总结

本文提出了一种统一框架，用于混合整数锥规划（MICPs）中最小有效不等式的分析，使用诸如非负 orthant、Lorentz 锥和正定锥等常规锥。它定义了 K-极小不等式，并表明在温和假设下，这些不等式与锥隐含不等式共同描述了凸包，推广了混合整数线性规划（MILP）中的结果，并通过支持函数揭示了新的代数与几何表征。

ABSTRACT

We study disjunctive conic sets involving a general regular (closed, convex, full dimensional, and pointed) cone K such as the nonnegative orthant, the Lorentz cone or the positive semidefinite cone. In a unified framework, we introduce K-minimal inequalities and show that under mild assumptions, these inequalities together with the trivial cone-implied inequalities are sufficient to describe the convex hull. We study the properties of K-minimal inequalities by establishing algebraic necessary conditions for an inequality to be K-minimal. This characterization leads to a broader algebraically defined class of K- sublinear inequalities. We establish a close connection between K-sublinear inequalities and the support functions of sets with a particular structure. This connection results in practical ways of showing that a given inequality is K-sublinear and K-minimal. Our framework generalizes some of the results from the mixed integer linear case. It is well known that the minimal inequalities for mixed integer linear programs are generated by sublinear (positively homogeneous, subadditive and convex) functions that are also piecewise linear. This result is easily recovered by our analysis. Whenever possible we highlight the connections to the existing literature. However, our study unveils that such a cut generating function view treating the data associated with each individual variable independently is not possible in the case of general cones other than nonnegative orthant, even when the cone involved is the Lorentz cone.

研究动机与目标

• 开发一个统一框架，用于处理涉及一般常规锥的混合整数锥规划中的最小有效不等式。
• 从代数角度表征 K-极小不等式，并将其与次线性函数和支持函数联系起来。
• 将已知的混合整数线性规划结果推广到锥情形，特别是关于分段线性次线性函数的作用。
• 研究 K-极小不等式的结构与有限性，超越非负 orthant，尤其针对 Lorentz 锥与半正定锥。
• 提供验证 MICPs 中有效不等式的 K-极小性与 K-次线性性的实用条件。

提出的方法

• 为由常规锥 K 和有限组约束定义的析取锥集引入 K-极小不等式的概念。
• 将 K-次线性不等式定义为更广义的类，其特征为正齐次性、次可加性与凸性。
• 建立 K-次线性不等式与特定凸集支持函数之间的联系，从而实现实用的验证。
• 利用此支持函数联系，推导出 K-极小性与 K-次线性性的充分条件，即使在非多面体锥中也成立。
• 通过要求所有相关线性不等式均为 K-极小，将 K-极小性的概念扩展至锥不等式。
• 将该框架应用于恢复经典 MILP 结果，表明当 K 为非负 orthant 时，K-次线性函数退化为分段线性、正齐次、次可加且凸的函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否对非负 orthant 之外的一般常规锥，从代数角度表征 K-极小不等式？
• RQ2 K-次线性不等式与特定结构凸集的支持函数之间存在何种关系？
• RQ3 是否存在实用的充分条件，以验证 MICPs 中给定不等式的 K-极小性或 K-次线性性？
• RQ4 当底锥为非多面体时，描述析取锥集凸包所需的 K-极小锥不等式数量是否有限？
• RQ5 在 MILP 中有效的割生成函数方法，能否推广至非 orthant 锥（如 Lorentz 锥）的 MICPs？

主要发现

• 在温和假设下，K-极小不等式与锥隐含不等式共同足以描述析取锥集的凸包。
• 当 K 为非负 orthant 时，所有 K-次线性不等式均由分段线性、正齐次、次可加且凸的函数生成，从而恢复经典 MILP 结果。
• 建立了 K-次线性不等式与特定凸集支持函数之间的强联系，使得 K-极小性的实用验证成为可能。
• 对于非多面体锥（如 L^3 Lorentz 锥），凸包可能需要无穷多个极值线性不等式，但仅需有限多个同类型的锥不等式。
• 该框架揭示，如同 MILP 中割生成函数那样按变量独立处理数据，在非负 orthant 以外的锥中通常不可行，甚至对 Lorentz 锥也如此。
• 本文提出了新的 K-极小性与 K-次线性性的充分条件，即使在 MILP 设置下也具有新颖性。