[论文解读] On minors of maximal determinant matrices

Richard P. Brent, Judy-anne H. Osborn|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2012

graph theory and CDMA systems参考文献 32被引用 5

一句话总结

本文研究了最大行列式 {±1}-矩陣的子式，将 Cohn 关于 Hadamard 矩陣的结果推广至最大行列式子式，證明在 Hadamard 猜想成立的假設下，最大行列式子式在階數 m 屬於區間 [n/2 + 5 log n, n-2] 時被排除。論文提出了關於 k×k 子式平均平方行列式的下界的猜想，提供了階數 ≤21 的子式 exhaustive 表格，並詳細描述了高效算法——特別是演算法 D——利用組合遞迴與記憶體優化來計算這些子式。

ABSTRACT

By an old result of Cohn (1965), a Hadamard matrix of order n has no proper Hadamard submatrices of order m > n/2. We generalise this result to maximal determinant submatrices of Hadamard matrices, and show that an interval of length asymptotically equal to n/2 is excluded from the allowable orders. We make a conjecture regarding a lower bound for sums of squares of minors of maximal determinant matrices, and give evidence in support of the conjecture. We give tables of the values taken by the minors of all maximal determinant matrices of orders up to and including 21 and make some observations on the data. Finally, we describe the algorithms that were used to compute the tables.

研究动机与目标

• 將 Cohn 對 Hadamard 子式的結果推廣至 Hadamard 矩陣中最大行列式子式的推廣。
• 研究階數 n ≤ 21 的最大行列式矩陣中子式的結構與分佈。
• 對最大行列式矩陣的 k×k 子式之平均平方行列式提出下界猜想。
• 使用優化演算法計算並編製階數 1 到 21 的所有最大行列式矩陣子式的表格。
• 開發並評估用於枚舉 {±1}-矩陣中子式的高效計算方法。

提出的方法

• 使用 Cohn 原始結果的廣義證明技術，建立最大行列式子式在 Hadamard 矩陣中可能階數的界限。
• 應用 Hadamard 猜想，推導出最大行列式子式階數的更緊緻排除區間 [n/2 + 5 log n, n-2)。
• 採用演算法 D——一種基於拉普拉斯展開與行選擇的遞迴、記憶體效率高的方法——透過迭代所有 k 行的組合，並遞迴計算較小階數的子式來計算階數 k 的子式。
• 實作雜湊表資料結構來儲存與管理稀疏的相異子式值集合，相較於位向量表示法，可大幅降低記憶體使用量。
• 使用小規模案例驗證實作結果，同時採用演算法 A（逐行列式計算）與演算法 D，因 D 在 k ≈ n/2 時表現更佳，故在大 n 時優先採用。
• 利用 HT-等價性（包含轉置的 Hadamard 等價）減少重複計算，確保結果在等價類中具代表性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在階數 n 的最大行列式矩陣中，最大行列式子式階數 m 的最大可能值為何？
• RQ2 子式階數的排除區間是否可超越 n/2，其依賴於 Hadamard 猜想的程度為何？
• RQ3 是否存在最大行列式矩陣中 k×k 子式平均平方行列式的普遍下界，且其是否超過隨機 {±1} 矩陣中的 m!？
• RQ4 在階數 1 到 21 的最大行列式矩陣中，子式值分佈是否存在任何模式？
• RQ5 哪種演算法方法能有效且正確地計算 n ≤ 21 時的所有子式，同時控制記憶體與計算成本？

主要发现

• 在假設 Hadamard 猜想成立下，階數 n 的 Hadamard 矩陣中不存階數 m 屬於區間 [n/2 + 5 log n, n-2) 的最大行列式子式。
• 若不假設 Hadamard 猜想，仍存在長度約為 n/2 的區間被排除於最大行列式子式階數之外，具體為 [n/2 + o(n), n - o(n))。
• 本文提供了階數 n ≤ 21 的所有最大行列式矩陣之所有子式值的 exhaustive 表格，顯示子式集合極為稀疏，特別是在 n 可被 4 整除時。
• 最大行列式矩陣中 k×k 子式的平均平方行列式被猜想有下界 m!，此猜想由 1 ≤ m ≤ n ≤ 21 的計算結果支持。
• 演算法 D 在 k ≈ n/2 時明顯快於演算法 A，總運算次數為 4^{n-1}n，且適合對行組合進行平行化處理。
• 使用雜湊表儲存子式值將記憶體需求從 131073 個位元降低至 n=16 時約 200 個字，顯示對 n ≤ 25 具實用效率。