[论文解读] On modular semifinite index theory

Jens Kaad|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2011

Advanced Operator Algebra Research参考文献 24被引用 6

一句话总结

本文通过定义广义扭曲谱三元组的模形式谱三元组，提出了一套模块化半有限指标理论的新框架，引入了KMS态和量子群。该研究建立了基于两个相关迹的扭曲指标配对，证明了在量子SU(2)中，约化陈特征的局部公式为哈尓态的扭曲上边界，同时为半有限冯诺依曼代数上的权重构造了导出$L^p$-空间。

ABSTRACT

We propose a definition of a modular spectral triple which covers existing examples arising from KMS-states, Podles sphere and quantum SU(2). The definition also incorporates the notion of twisted commutators appearing in recent work of Connes and Moscovici. We show how a finitely summable modular spectral triple admits a twisted index pairing with unitaries satisfying a modular condition. The twist means that the dimensions of kernels and cokernels are measured with respect to two different but intimately related traces. The twisted index pairing can be expressed by pairing Chern characters in reduced versions of twisted cyclic theories. We end the paper by giving a local formula for the reduced Chern character in the case of quantum SU(2). It appears as a twisted coboundary of the Haar-state. In particular we present an explicit computation of the twisted index pairing arising from the sequence of corepresentation unitaries. As an important tool we construct a family of derived integration spaces associated with a weight and a trace on a semifinite von Neumann algebra.

研究动机与目标

• 通过冯诺依曼代数上的权重与迹，将扭曲谱三元组推广至半有限情形。
• 定义一种扭曲指标配对，其中核与余核维数分别相对于两个相关迹进行测量。
• 在模形式弗雷德霍姆模的约化扭曲循环理论中构造陈特征。
• 为量子SU(2)情形提供约化陈特征的局部公式，证明其为哈尓态的扭曲上边界。
• 将KMS态、波德莱斯球面与量子SU(2)等已知例子统一于单一模形式框架之下。

提出的方法

• 通过半有限冯诺依曼代数上的权重$\phi$与一个与自同构一参数群的固定点代数相关的狄拉克算子，定义模形式谱三元组。
• 引入与半有限冯诺依曼代数上的权重和迹相关的导出积分空间（导出$L^p$-空间）。
• 利用扭曲交换子$[D', x]_{\theta}$（其中$\theta = \sigma_{-i}$）定义模形式弗雷德霍姆模及其陈特征。
• 通过约化扭曲循环上同调中的陈特征配对来表达扭曲指标配对。
• 在量子SU(2)情形下构造约化陈特征，并证明其作为哈尓态的扭曲上边界而出现。
• 将该框架应用于显式计算量子SU(2)中核心表示酉元的扭曲指标配对。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用权重而非迹，将扭曲交换子与指标配对推广至半有限情形？
• RQ2 模形式自同构群$\sigma_t$在定义非紧预解式的一致指标理论中起何作用？
• RQ3 模形式谱三元组的陈特征能否以扭曲循环上同调的形式表达？其与约化理论的关系如何？
• RQ4 量子SU(2)中陈特征的局部公式如何体现为哈尓态的扭曲上边界？
• RQ5 已知例子——KMS态、波德莱斯球面、量子SU(2）——在多大程度上可被统一于单一模形式谱三元组框架之下？

主要发现

• 对于有限可和的模形式谱三元组，扭曲指标配对是良定义的，其核与余核维数通过两个相关迹进行测量。
• 在量子SU(2)中，模形式酉元的约化陈特征被证明为哈尓态的扭曲上边界，其显式计算公式为$\textup{Ch}_{φ}(u^l) = b_{\sigma_i}([u^l] \otimes_{M_k(\mathbb{C})} [(u^l)^*])$。
• 在量子SU(2)中，与核心表示酉元的扭曲指标配对显式计算结果为$\frac{C}{2}\big{(}2l+1 - [2l+1]_{q^{1/2}}\big{)}$，表明存在非平凡的指标不变量。
• 波德莱斯球面上的谱三元组被证明是关于权重$\phi$的3-可和模形式谱三元组，其陈特征属于$H^2_{\lambda}(\mathcal{A}(S_q^2)/\mathbb{C}, \sigma_i^F)$。
• 波德莱斯球面的非约化陈特征被猜想与[Krä08]中的基本Hochschild类一致，暗示其深层的上同调相容性。
• 导出$L^p$-空间的构造为分析非交换几何中权重与迹（特别是在半有限情形）提供了一项新技术工具。