[论文解读] On Morphic Actions and Integrability of LA-Groupoids

Luca Stefanini|ArXiv.org|Feb 12, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 45被引用 10

一句话总结

本文通过基于映射作用与余切提升的函子性方法，建立了LA-群丛（即李代数丛范畴中的群丛对象）向双重李群丛积分化的充分条件。通过在李代数丛同伦上进行延拓构造，提供了必要且充分的可积性条件，解决了在自然假设下的积分化问题，并推广了泊松群丛对偶性与约化理论。

ABSTRACT

Lie theory for the integration of Lie algebroids to Lie groupoids, on the one hand, and of Poisson manifolds to symplectic groupoids, on the other, has undergone tremendous developements in the last decade, thanks to the work of Mackenzie-Xu, Moerdijk-Mrcun, Cattaneo-Felder and Crainic-Fernandes, among others. In this thesis we study - part of - the categorified version of this story, namely the integrability of LA-groupoids (groupoid objects in the category of Lie algebroids), to double Lie groupoids (groupoid objects in the category of Lie groupoids) providing a first set of sufficient conditions for the integration to be possible. Mackenzie's double Lie structures arise naturally from lifting processes, such as the cotangent lift or the path prolongation, on ordinary Lie theoretic and Poisson geometric objects and we use them to study the integrability of quotient Poisson bivector fields, the relation between "local" and "global" duality of Poisson groupoids and Lie theory for Lie bialgebroids and Poisson groupoids.

研究动机与目标

• 开发LA-群丛向双重李群丛积分化的函子性框架。
• 解决泊松群丛作用下泊松流形商流形上泊松二阶张量场的可积性问题。
• 推广李代数双丛的李定理，包括共形子代数丛与态射的可积性。
• 通过双重李结构统一泊松群丛的局部与全局对偶性。
• 通过矩态射与同伦延拓，为泊松群丛作用的积分化问题提供构造性解法。

提出的方法

• 将映射作用形式化为李代数丛与李群丛范畴中的群丛作用。
• 将Marsden-Weinstein约化应用于与泊松G-空间相关的矩态射。
• 构造泊松G-空间的余切提升，并将作用延拓至李代数丛同伦空间。
• 通过同伦空间上延拓作用推导出必要且充分的可积性条件。
• 使用函子性积分方法，将LA-群丛积分与辛双重群丛联系起来。
• 通过引入新的同伦理论方法，扩展Cattaneo-Xu与Weinstein的早期结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，LA-群丛可被积分化为双重李群丛？
• RQ2 如何对泊松群丛作用下泊松流形上的商泊松结构进行积分化？
• RQ3 矩态射在泊松群丛作用积分化中起何种作用？
• RQ4 余切提升与同伦空间上作用的延拓如何导出可积性准则？
• RQ5 函子性方法能否统一泊松群丛的局部与全局对偶性？

主要发现

• 本文建立了LA-群丛向双重李群丛积分化的函子性框架，推广了早期关于李代数双丛积分化的结果。
• 通过将作用延拓至李代数丛同伦，提供了泊松群丛作用积分化的必要且充分条件。
• 通过余切提升与同伦延拓的构造，在自然假设下为可积性问题提供了正解。
• 该方法在李群作用情形下重现了辛化函子，为Fernandes-Ortega-Ratiu近期工作提供了新视角。
• 该方法将李的第一与第二定理推广至李代数双丛，证明了共形子代数丛与态射的可积性。
• 该方法成功解决了商泊松二阶张量场的可积性问题，提供了一套系统且高效的方法。