[论文解读] On multiple peaks and moderate deviations for supremum of Gaussian field

Jian Ding, Ronen Eldan+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2013

Theoretical and Computational Physics参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文通过消除非负相关性的假设，并提供关于达到上确界附近值的近正交站点数量的 $\exp(c/\sigma^2)$ 阶指数界，对 Chatterjee 的多重峰值定理在中心化高斯场中进行了定量改进。此外，在期望上确界与独立情形阶数一致的条件下，进一步推导出一个优于经典高斯集中不等式的中等偏差上界。

ABSTRACT

We prove two theorems concerning extreme values of general Gaussian fields. Our first theorem concerns with the concept of multiple peaks. A theorem of Chatterjee states that when a centered Gaussian field admits the so-called superconcentration property, it typically attains values near its maximum on multiple near-orthogonal sites, known as multiple peaks. We improve his theorem in two aspects: (i) the number of peaks attained by our bound is of the order $\exp(c / σ^2)$ (as opposed to Chatterjee's polynomial bound in $1/σ$), where $σ$ is the standard deviation of the supremum of the Gaussian field, which is assumed to have variance at most $1$ and (ii) our bound need not assume that the correlations are non-negative. We also prove a similar result based on the superconcentration of the free energy. As primary applications, we infer that for the S-K spin glass model on the $n$-hypercube and directed polymers on $\mathbb{Z}_n^2$, there are polynomially (in $n$) many near-orthogonal sites that achieve values near their respective maxima. Our second theorem gives an upper bound on moderate deviation for the supremum of a general Gaussian field. While the Gaussian isoperimetric inequality implies a sub-Gaussian concentration bound for the supremum, we show that the exponent in that bound can be improved under the assumption that the expectation of the supremum is of the same order as that of the independent case.

研究动机与目标

• 解决关于超集中度高斯场中多重峰值数量是否可被定量改进至超越多项式界这一开放问题。
• 消除多重峰值现象中对非负相关性的限制性假设，从而扩大其在一般高斯场中的适用范围。
• 为一般高斯场的上确界建立一个优于经典次高斯集中界的中等偏差上界。
• 将上确界集中性的结构与底层场支撑集的几何与等周性质联系起来。
• 将结果应用于典型模型，如 Sherrington-Kirkpatrick 自旋玻璃和 $\mathbb{Z}^2$ 上的定向聚合物，证明存在多项式数量的近正交最大化点。

提出的方法

• 利用面积公式与高斯等周不等式推导新的概率界，将上确界的方差与水平集的曲面测度联系起来。
• 对函数 $u(x) = \sup_{i \in [N]} \langle x, v_i \rangle$（其中 $|v_i| = 1$）应用面积公式，利用几乎处处有 $|\nabla u| = 1$ 的事实。
• 利用高斯测度的对数凹性与马尔可夫不等式，控制水平集 $K_t = \{x : u(x) = t\}$ 的曲面测度 $\gamma^+(K_t)$。
• 引入基于投影面片 $F_i$ 及其向外延伸 $\tilde{F}_i$ 的几何构造，以界定总曲面测度。
• 通过 $\sqrt{\mathrm{Var}(\sup X_i)} \geq c \cdot L(K)^{-1}$ 建立上确界方差的下界，其中 $L(K)$ 为水平集的曲面测度。
• 结合 $L(K)$ 关于 $\mathbb{E}[\sup X_i]$ 的新上界，证明 $L(K) \leq C \cdot \mathbb{E}[\sup X_i]$，其中 $C$ 为绝对常数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在超集中度高斯场中，多重峰值的数量能否以 $1/\sigma^2$ 的指数形式而非多项式形式进行有界？
• RQ2 在场中不假设非负相关性的情况下，多重峰值现象是否仍然存在？
• RQ3 在何种条件下，高斯场上确界的中等偏差尾部可被改进至优于经典次高斯界？
• RQ4 期望上确界与高维高斯场中水平集的曲面测度等几何量之间有何关系？
• RQ5 如 S-K 自旋玻璃与定向聚合物等典型模型是否由于超集中度而表现出多项式数量的近正交最大化点？

主要发现

• 以高概率，达到上确界附近值 $\delta_N$ 的近正交站点数量至少为 $\exp\left(\frac{C_2 \varepsilon_N^2 \delta_N \zeta_N}{m(\mathbf{X}_N) \sigma_N^2 \hat{\sigma}_N^2}\right)$，其中 $\varepsilon_N$ 控制近正交性，$\zeta_N$ 为置信参数。
• 该界将 Chatterjee 的多项式界 $(\delta_N \varepsilon_N / (m \hat{\sigma}^2))^{1/3}$ 改进为 $1/\sigma^2$ 阶的指数形式。
• 该结果无需假设非负相关性，从而将多重峰值现象推广至一般高斯场。
• 对于 $n$-超立方体上的 S-K 自旋玻璃与 $\mathbb{Z}_n^2$ 上的定向聚合物，近正交最大化点的数量为 $n$ 的多项式，确认了多重峰值结构的存在。
• 建立了中等偏差上界：当期望上确界与独立情形阶数一致时，尾部概率 $\mathbb{P}(\sup X_i - \mathbb{E}[\sup X_i] \geq z)$ 的衰减速度快于次高斯分布。
• 上确界方差满足 $\sqrt{\mathrm{Var}(\sup X_i)} \geq c \cdot L(K)^{-1}$，且 $L(K) \leq C \cdot \mathbb{E}[\sup X_i]$，从而将几何测度与集中性联系起来。