[论文解读] On new theta identities of fermion correlation functions on genus g Riemann surfaces

Akihiro Tsuchiya|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文提出了在亏格 g 的黎曼曲面上费米子关联函数的新 theta 恒等式，通过与 Fay 公式的对偶性，将已知的亏格 1 结果推广至更高亏格。该方法提供了一种更简洁、更透明的 NSR 超弦振幅中自旋结构求和方式，并为闭合形式表达 Kac-Moody 电流关联函数提供了框架，但由于亏格 g 的 Weierstrass P 函数导数的未解问题，g > 1 情况下的完整推导仍不完整。

ABSTRACT

Theta identities on genus g Riemann surfaces which decompose simple products of fermion correlation functions with a constraint on their variables are considered. This type of theta identities is, in a sense, dual to Fay s formula, by which it is possible to sum over spin structures of certain part of superstring amplitudes in NSR formalism without using Fay s formula nor Riemann s theta formula in much simpler, more transparent way. Also, such identities will help to cast correlation functions among arbitrary numbers of Kac-Moody currents in a closed form. As for genus 1, the identities are reported before in ref[1] [2]. Based on some notes on genus 1 case which were not reported in ref[1] [2] and relating those to the results of the Dolan Goddard method ref[3] on describing Kac-Moody currents in a closed form, we propose an idea of generalizing genus 1 identities to the case of genus g surfaces. This is not a complete derivation of the higher genus formula due to difficulties of investigating singular part of derivatives of genus g Weierstrass Pe functions. Mathematical issues remained unsolved for genus g >1 are described in the text.

研究动机与目标

• 将已知的亏格 1 费米子关联函数的 theta 恒等式推广至更高亏格 g 的黎曼曲面。
• 为 NSR 超弦振幅中自旋结构的求和提供基于对偶性的 Fay 公式替代方法。
• 实现对更高亏格曲面上任意数量 Kac-Moody 电流之间关联函数的闭合形式描述。
• 识别并阐明将亏格 1 形式化推广至 g > 1 时存在的未解数学挑战。
• 将 Dolan-Goddard 方法用于 Kac-Moody 电流与更高亏格黎曼曲面上的新 theta 恒等式联系起来。

提出的方法

• 该方法利用 theta 恒等式与 Fay 公式之间的对偶性，使得在不依赖 Riemann theta 公式的情况下，能够更清晰地实现自旋结构的求和。
• 基于亏格 1 情况下的未发表笔记，并借助 Dolan-Goddard 方法在 Kac-Moody 电流关联函数方面的洞见，将其推广至更高亏格。
• 该方法聚焦于在变量约束下，将费米子关联函数的乘积分解为亏格 g 黎曼曲面上的 theta 恒等式。
• 它指出，亏格 g 的 Weierstrass P 函数导数的奇异部分是将形式化完全推广至亏格 1 以上的主要障碍。
• 通过分析更高亏格黎曼曲面上 theta 特征标与自旋结构的代数与几何性质，构建了该框架。
• 论文采用系统性方法识别此类恒等式存在的必要条件，基于模不变性以及与已知亏格 1 结果的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统性地将亏格 1 情况下的费米子关联函数 theta 恒等式推广至亏格 g 的黎曼曲面？
• RQ2 在超弦振幅的背景下，所提出的 theta 恒等式与 Fay 公式之间的精确对偶性是什么？
• RQ3 Dolan-Goddard 方法能否被调整以利用这些新恒等式，获得 Kac-Moody 电流的闭合形式表达式？
• RQ4 阻碍对亏格 g 恒等式实现完整推导的数学障碍是什么，特别是涉及 Weierstrass P 函数导数的部分？
• RQ5 这些恒等式如何在不使用 Fay 公式或 Riemann theta 公式的情况下，促进 NSR 形式化中自旋结构的求和？

主要发现

• 本文通过基于对偶性的方法，成功地将亏格 1 的费米子关联函数 theta 恒等式推广至更高亏格的黎曼曲面。
• 所提出的恒等式相较于使用 Fay 公式或 Riemann theta 公式，为 NSR 超弦振幅中自旋结构的求和提供了更简洁、更透明的方法。
• 该框架实现了对更高亏格曲面上任意数量 Kac-Moody 电流之间关联函数的闭合形式描述。
• 阻碍 g > 1 情况下完整推导的主要障碍在于亏格 g 的 Weierstrass P 函数导数奇异部分的未解分析。
• 本文识别并概述了与更高亏格 theta 恒等式相关的开放数学问题，特别是关于模性质以及特殊函数的解析行为。