[论文解读] On (p,q)-analogue of Bernstein-Schurer operators

M. Mursaleen|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2015

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 19被引用 5

一句话总结

本文通过使用 (p,q)-整数，引入了一类新的 (p,q)-Bernstein-Schurer 算子，推广了现有的 q-Bernstein-Schurer 算子。建立了 Korovkin 型逼近定理，通过连续模分析收敛性，并证明了直接逼近定理，将经典逼近结果扩展到了 (p,q) 设置。

ABSTRACT

Recently, Mursaleen et al [14], introduced and studied the (p,q)-analogue of Bernstein operators by using the idea of (p,q)-integers. In this paper, we generalize q-Bernstein-Schurer operators using (p,q)-integers and obtain Korovkin’s type approximation theorem for these operators. Furthermore, we also compute the convergence of the operators by using the modulus of continuity and provide some direct Theorems.

研究动机与目标

• 通过使用 (p,q)-整数引入 (p,q)-类比，推广 q-Bernstein-Schurer 算子。
• 为新提出的 (p,q)-Bernstein-Schurer 算子建立 Korovkin 型逼近定理。
• 利用连续模研究收敛速度。
• 推导所提出算子的直接逼近定理。

提出的方法

• 本研究采用 (p,q)-整数构造一类新的线性正算子，推广了 q-Bernstein-Schurer 算子。
• 应用 Korovkin 定理证明算子在 [0,1] 上连续函数空间中的收敛性。
• 利用连续模估计算子的收敛速度。
• 通过 Ditzian–Totik 连续模推导直接逼近定理。
• 分析在 C[0,1] 中函数逼近理论的框架内进行。
• 结果将经典逼近结果推广到 (p,q) 设置，提供了更一般的框架。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过 (p,q)-整数推广 q-Bernstein-Schurer 算子？
• RQ2 新提出的 (p,q)-Bernstein-Schurer 算子的收敛速度是多少？
• RQ3 能否为 Bernstein-Schurer 算子的 (p,q)-类比建立 Korovkin 型逼近定理？
• RQ4 可以为这些新算子推导出哪些直接逼近定理？

主要发现

• 成功利用 (p,q)-整数构造了一类新的 (p,q)-Bernstein-Schurer 算子。
• 为所提出的算子证明了 Korovkin 型逼近定理，确保了在 [0,1] 上连续函数的收敛性。
• 通过连续模量化了收敛速度，提供了定量估计。
• 建立了直接逼近定理，将逼近误差与函数的光滑性联系起来。
• 结果将现有的 q-Bernstein-Schurer 逼近结果推广到了更广泛的 (p,q) 框架。
• 该框架允许更灵活的参数化，使某些函数类的逼近效果更优。