[论文解读] On rectifiable measures in Carnot groups: structure theory

Gioacchino Antonelli, Andrea Merlo|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 35被引用 8

一句话总结

本文通过引入基于切测度和密度条件的新正则性概念——𝔛ₕ-正则性，建立了第一 Heisenberg 群 𝕍¹ 中的一维 Preiss 型正则性定理。证明了在切平面存在正规补子群的条件下，具有正且有限的一维密度的 Radon 测度，其支撑集为 ℝ 到 𝕍¹ 的 Lipschitz 映射像的可数并，而该条件在 Carnot 群的所有水平子群中均成立。

ABSTRACT

In this paper we prove the one-dimensional Preiss' theorem in the first Heisenberg group $\mathbb H^1$. More precisely we show that a Radon measure $\phi$ on $\mathbb H^1$ with positive and finite one-density with respect to the Koranyi distance is supported on a one-rectifiable set in the sense of Federer, i.e., it is supported on the countable union of the images of Lipschitz maps $A\subseteq \mathbb R o\mathbb H^1$. The previous theorem is a consequence of a Marstrand-Mattila type rectifiability criterion, which we prove in arbitrary Carnot groups for measures with tangent planes that admit a normal complementary subgroup. Namely, in this co-normal case, even if we a priori ask that the tangent planes at a point might rotate at different scales, a posteriori the measure has a unique tangent almost everywhere. Since every horizontal subgroup has a normal complement, our criterion applies in the particular case of one-dimensional horizontal subgroups. These results are the outcome of a detailed study of a new notion of rectifiability: we say that a Radon measure on a Carnot group is $\mathscr{P}_h$-rectifiable, for $h\in\mathbb N$, if it has positive $h$-lower density and finite $h$-upper density almost everywhere, and, at almost every point, it admits as tangent measures only (multiple of) the Haar measure of a homogeneous subgroup of Hausdorff dimension $h$. We also prove several structure properties of $\mathscr{P}_h$-rectifiable measures. First, we compare $\mathscr{P}_h$-rectifiability with other notions of rectifiability previously known in the literature in the setting of Carnot groups and we realize that it is strictly weaker than them. Furthermore, we show that a $\mathscr{P}_h$-rectifiable measure has almost everywhere positive and finite $h$-density whenever the tangents admit at least one complementary subgroup.

研究动机与目标

• 在基于密度与切测度性质的基础上，于 Carnot 群中提出一种新的正则性概念——𝔛ₕ-正则性。
• 为具有切平面允许正规补子群的测度，建立类似 Marstrand-Mattila 的正则性判别准则。
• 证明在第一 Heisenberg 群中，具有正且有限一维密度的测度，其支撑集为 1-正则集。
• 阐明 𝔛ₕ-正则性与 Carnot 群中已有正则性概念之间的关系。
• 证明当切测度的齐次子群存在补子群时，𝔛ₕ-正则测度的 h-密度几乎处处为正且有限。

提出的方法

• 引入 𝔛ₕ-正则性的概念：若一个 Radon 测度几乎处处具有正的 h-下密度与有限的 h-上密度，且其切测度为某个 h 维齐次子群的 Haar 测度的倍数，则称其为 𝔛ₕ-正则。
• 证明在切平面存在正规补子群的 Carnot 群中，即使切平面在不同尺度下发生旋转，切测度也几乎处处唯一。
• 利用正规补子群控制切平面的几何结构，并由此推出切测度的唯一性。
• 应用切测度理论与密度正则性分析 Heisenberg 群中测度的结构。
• 将 𝔛ₕ-正则性与 Carnot 群中已有的正则性概念进行比较，证明其严格弱于已有概念。
• 在补子群条件下，证明 𝔛ₕ-正则测度的 h-密度几乎处处为正且有限。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 Heisenberg 群中为具有正且有限一维密度的测度建立类似 Preiss 的正则性定理？
• RQ2 在何种切平面的几何条件下，测度几乎处处具有唯一的切测度？
• RQ3 新提出的 𝔛ₕ-正则性概念与 Carnot 群中已有正则性概念之间有何关系？
• RQ4 正规补子群的存在在确保切测度唯一性方面起到何种作用？
• RQ5 当切齐次子群存在补子群时，𝔛ₕ-正则性是否意味着 h-密度几乎处处为正且有限？

主要发现

• 在第一 Heisenberg 群上，若 Radon 测度关于 Korányi 距离具有正且有限的一维密度，则其支撑集为 1-正则集，即 ℝ 到 𝕍¹ 的 Lipschitz 映射像的可数并。
• 在任意 Carnot 群中，若切平面存在正规补子群，则即使切平面在不同尺度下发生旋转，测度也几乎处处具有唯一的切测度。
• 新提出的 𝔛ₕ-正则性概念严格弱于 Carnot 群中已知的正则性概念。
• 对于 𝔛ₕ-正则测度，若其切齐次子群存在补子群，则其 h-密度几乎处处为正且有限。
• 在共正规假设下，Marstrand-Mattila 型正则性判别准则在一般 Carnot 群中成立，从而使得 𝕍¹ 中的一维结果得以证明。
• 第一 Heisenberg 群中的一维 Preiss 定理作为一般准则的推论被建立，其依据在于 Carnot 群中每个水平子群均存在正规补子群。