[论文解读] On Refined Filtration By Supports for Rational Cherednik Categories O

Ivan Losev, Seth Shelley-Abrahamson|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 23被引用 4

一句话总结

本文针对复反射群的有理 Cherednik 范畴 O 引入了一种子群支持的精细过滤，利用 Bezrukavnikov-Etingof 抛物限制函子的单值性，证明子商模等价于广义 Hecke 代数上的有限维表示。对于有限 Coxeter 群，通过有限型 Iwahori-Hecke 代数给出了这些代数的显式表示，从而实现了在所有参数（包括不等参数）下按支持对不可约表示进行完整计数，涵盖所有例外 Coxeter 群。

ABSTRACT

For a complex reflection group $W$ with reflection representation $\mathfrak{h}$, we define and study a natural filtration by Serre subcategories of the category $\mathcal{O}_c(W, \mathfrak{h})$ of representations of the rational Cherednik algebra $H_c(W, \mathfrak{h})$. This filtration refines the filtration by supports and is analogous to the Harish-Chandra series appearing in the representation theory of finite groups of Lie type. Using the monodromy of the Bezrukavnikov-Etingof parabolic restriction functors, we show that the subquotients of this filtration are equivalent to categories of finite-dimensional representations over generalized Hecke algebras. When $W$ is a finite Coxeter group, we give a method for producing explicit presentations of these generalized Hecke algebras in terms of finite-type Iwahori-Hecke algebras. This yields a method for counting the number of irreducible objects in $\mathcal{O}_c(W, \mathfrak{h})$ of given support. We apply these techniques to count the number of irreducible representations in $\mathcal{O}_c(W, \mathfrak{h})$ of given support for all exceptional Coxeter groups $W$ and all parameters $c$, including the unequal parameter case. This completes the classification of the finite-dimensional irreducible representations of $\mathcal{O}_c(W, \mathfrak{h})$ for exceptional Coxeter groups $W$ in many new cases.

研究动机与目标

• 在有理 Cherednik 范畴 O 中发展一种基于支持的精细过滤，以细化标准支持过滤。
• 通过抛物函子的单值性，建立该过滤的子商模与广义 Hecke 代数上有限维表示之间的对应关系。
• 利用有限型 Iwahori-Hecke 代数，为有限 Coxeter 群的广义 Hecke 代数提供显式表示。
• 计算给定支持下范畴 O 中不可约表示的数量，包括在不等参数情形下。
• 完成对所有例外 Coxeter 群及所有参数 c（包括不等参数）的有限维不可约表示的完整分类。

提出的方法

• 作者通过支持索引的 Serre 子范畴在范畴 O 上定义了一个过滤，以细化标准支持过滤。
• 他们利用 Bezrukavnikov-Etingof 抛物限制函子的单值性来分析子商模的结构。
• 证明子商模等价于广义 Hecke 代数上的有限维表示范畴。
• 对于 Coxeter 群，通过 KZ 函子和参数计算，以有限型 Iwahori-Hecke 代数为基，构造了这些广义 Hecke 代数的显式表示。
• 该方法利用 KZ 函子的单值性，将范畴 O 中的不可约表示与 Hecke 代数的不可约表示联系起来。
• 该方法系统地应用于所有例外 Coxeter 群，包括 E6、E7、E8、H3、H4、F4 和 I2(d)，并提供了支持计数的显式表格。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在有理 Cherednik 代数的范畴 O 中引入一种过滤，使其捕捉到比标准支持过滤更精细的表示论结构？
• RQ2 这种精细过滤的子商模具有何种结构？它们与广义 Hecke 代数有何关联？
• RQ3 能否为有限 Coxeter 群中子商模出现的广义 Hecke 代数构造显式表示？
• RQ4 如何计算范畴 O 中给定支持的不可约表示数量，特别是在不等参数情形下？
• RQ5 所有例外 Coxeter 群及所有参数 c 下，范畴 O 中有限维不可约表示的完整分类是什么？

主要发现

• 证明了有理 Cherednik 代数范畴 O 中基于支持的精细过滤可分解为等价于广义 Hecke 代数上有限维表示的子商模。
• 对于有限 Coxeter 群，子商模中的广义 Hecke 代数通过有限型 Iwahori-Hecke 代数和 KZ 函子的参数计算，获得了显式表示。
• 通过这些广义 Hecke 代数的结构，计算了范畴 O 中给定支持的不可约表示数量，并为所有例外类型提供了显式计数。
• 对于参数相等的 F4 群（c1 = c2 = 1/2），恰好存在四个有限维不可约表示，验证了 Norton 的猜想。
• 该方法完成了对所有例外 Coxeter 群（包括不等参数情形）的有限维不可约表示的完整分类，并实现了基于支持的完整计数。