[论文解读] Rigidity properties of full groups of pseudogroups over the Cantor set

Nicolás Matte Bon|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 47被引用 11

一句话总结

本文建立了康托集上伪群全群的刚性定理，表明任意此类群之间的同态必可延拓为底层伪群之间的连续态射。关键结果是通过轨道图几何与同调等动力不变量表征嵌入，其应用涵盖Higman-Thompson群、区间交换群及单边SFT群，证明了当且仅当 $ n \leq m $ 时，$ nV $ 嵌入到 $ mV $ 中。

ABSTRACT

We show that the (topological) full group of a minimal pseudogroup over the Cantor set satisfies various rigidity phenomena of topological dynamical and combinatorial nature. Our main result applies to its possible homomorphisms into other groups of homeomorphisms, and implies that arbitrary homomorphisms between the full groups of a vast class of pseudogroups must extend to continuous morphisms between pseudogroups (in particular giving rise to equivariant maps at the level of spaces). As applications, we obtain explicit obstructions to the existence of embeddings between full groups in terms of invariants of the underlying pseudogroups (the geometry of their orbital graphs, the complexity function, dynamical homology), and provide a complete descriptions of all homomorphisms within various families of groups including the Higman-Thompson groups (more generally full groups of one sided shifts of finite type), full groups of minimal $\mathbb{Z}$-actions on the Cantor set, and a class of groups of interval exchanges. We next consider a combinatorial rigidity property of groups, which formalises the inability of a group to act on any set with Schreier graphs growing uniformly subexponentially, or more generally not faster than a given function $f(n)$. For the exponential function this is a well-known consequence of property $(T)$. We use full groups to provide a source of examples of groups which satisfy this property but satisfy a strong negation of property $(T)$. A key tool used in the proofs is the study of the dynamics of the conjugation action of groups on their space of subgroups, endowed with the Chabauty topology. In particular we classify the confined and the uniformly recurrent subgroups of full groups.

研究动机与目标

• 建立一个通用框架，用于证明康托集上伪群全群之间非嵌入结果的理论。
• 表征此类全群之间同态何时可延拓为底层伪群之间的连续态射。
• 利用轨道图几何、复杂度函数与动力同调等不变量，提供嵌入的显式障碍。
• 利用Chabauty拓扑对全群中的受限子群与一致递归子群进行分类。
• 表明全群可在不具有性质(T)的情况下表现出强刚性，提供轨道增长缓慢的新群例子。

提出的方法

• 利用子群空间上的Chabauty拓扑研究全群共轭作用的动力学。
• 应用受限子群与一致递归子群的理论，对伪群全群中的其结构进行分类。
• 运用延拓定理，证明任意康托集上极小伪群全群之间的同态，必可延拓为伪群之间的连续态射。
• 利用动力同调 $ H_0 $ 关于连续态射的函子性，将群嵌入与同调群同态联系起来。
• 通过分析群胚的Cayley图的渐近维数，推导出同态的刚性约束。
• 应用Matui与Nekrashevych关于交错全群与导出子群的结果，表征嵌入障碍。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，康托集上伪群全群之间的同态可延拓为伪群之间的连续态射？
• RQ2 哪些动力不变量会阻碍伪群全群之间的嵌入，特别是在单边有限型移位的背景下？
• RQ3 全群是否可在不满足性质(T)的情况下表现出强刚性？这与Schreier图的轨道增长速率有何关联？
• RQ4 群 $ nV $ 嵌入到 $ mV $ 的精确条件是什么？这与底层群胚的同调有何关系？
• RQ5 全群中的受限子群与一致递归子群如何反映底层伪群的动力学？

主要发现

• 任何康托集上极小伪群全群之间的同态，均可延拓为伪群之间的连续态射，且在底层空间上诱导出一个等变映射。
• 单边有限型移位群全群之间的嵌入受群胚同调的阻碍：当且仅当存在同态 $ \varphi: H_0(\mathcal{G}_{\Sigma_1}) \to H_0(\mathcal{G}_{\Sigma_2}) $ 满足 $ \varphi([X_{\Sigma_1}]) = [Z] $ 时，存在以 $ Z $ 为支撑的态射 $ \rho: \text{D}(\tilde{\rho}_{\text{SFT}_1}) \to \text{F}(\tilde{\rho}_{\text{SFT}_2}) $。
• Higman-Thompson群 $ V_{n,1}' $ 嵌入到 $ V_{m,1} $ 中且无全局不动点，当且仅当 $ m-1 $ 整除 $ n-1 $；否则所有此类嵌入必有全局不动点。
• 对于 $ n > m $ 个不可约单边SFT群胚的积，从 $ n $ 重积的全群到 $ m $ 重积的任意同态，其像均为阿贝尔群。
• 高维Higman-Thompson群 $ nV $ 嵌入到 $ mV $ 中当且仅当 $ n \leq m $，证明依赖于渐近维数与同调障碍。
• 本文构造了具有次指数轨道增长（组合意义下刚性）但不满足性质(T)的群的例子，以全群作为此类例子的来源。