[论文解读] On smile properties of volatility derivatives and exotic products: understanding the VIX skew

Elisa Alòs, David García-Lorite+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 28被引用 5

一句话总结

本文提出一种基于马里亚文微积分的方法，用于分析波动率衍生品（如VIX和已实现方差期权）的平值隐含波动率（ATMI）水平与偏度的短时行为。研究发现，当波动率过程的赫斯特参数 H < 1/2 时，如粗糙波动率模型所示，VIX偏度呈正值，且推导出即使在中等期限下依然有效的ATMI偏度与水平的显式渐近公式。

ABSTRACT

We develop a method to study the implied volatility for exotic options and volatility derivatives with European payoffs such as VIX options. Our approach, based on Malliavin calculus techniques, allows us to describe the properties of the at-the-money implied volatility (ATMI) in terms of the Malliavin derivatives of the underlying process. More precisely, we study the short-time behaviour of the ATMI level and skew. As an application, we describe the short-term behavior of the ATMI of VIX and realized variance options in terms of the Hurst parameter of the model, and most importantly we describe the class of volatility processes that generate a positive skew for the VIX implied volatility. In addition, we find that our ATMI asymptotic formulae perform very well even for large maturities. Several numerical examples are provided to support our theoretical results.

研究动机与目标

• 理解波动率衍生品在何种条件下表现出正向隐含波动率偏度，特别是VIX期权。
• 开发一种可处理的分析方法，用于研究奇异和波动率衍生品中平值隐含波动率（ATMI）水平与偏度的短时行为。
• 表征能够生成市场数据中观察到的真实VIX偏度的随机波动率过程类别。
• 通过马里亚文微积分技术，将现有ATMI渐近结果扩展至已实现方差和VIX期权。
• 提供即使在非无穷小到期期限下仍保持准确的ATMI偏度与水平的渐近公式。

提出的方法

• 使用马里亚文微积分，将波动率衍生品的ATMI偏度与水平表示为底层波动率过程的马里亚文导数的函数。
• 建立奇异期权价格与经变换的标的资产上的欧式期权之间的联系，其中波动率由原始过程的马里亚文导数决定。
• 在 T → 0 的极限下应用渐近展开，推导ATMI偏度与水平的显式表达式，利用波动率过程在到期附近的性质。
• 推导涉及赫斯特参数 H 的关键渐近公式，表明偏度按 T^{H - 1/2} 缩放，水平也按 T^{H - 1/2} 缩放，前提是满足一定的正则性条件。
• 使用超几何函数与随机积分计算涉及波动率过程马里亚文导数的期望。
• 通过数值验证渐近公式，表明即使在中等到期期限下也表现出强劲性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪类随机波动率过程会在短期内产生VIX期权的正向隐含波动率偏度？
• RQ2 粗糙波动率模型中赫斯特参数 H 如何影响VIX与已实现方差期权的ATMI偏度与水平的短时行为？
• RQ3 马里亚文微积分技术能否提供在无穷小到期极限之外仍有效的ATMI偏度与水平的准确渐近近似？
• RQ4 ATMI偏度对波动率过程马里亚文导数的精确函数依赖关系为何？
• RQ5 ATMI偏度与水平的渐近公式与真实到期期限下的数值模拟结果相比如何？

主要发现

• 在短时极限下，VIX与已实现方差期权的ATMI偏度按 T^{H - 1/2} 缩放，其中 H 为波动率过程的赫斯特参数。
• 当 H < 1/2 时出现正向VIX偏度，这正是基于分数布朗运动的粗糙波动率模型的特征。
• ATMI水平同样按 T^{H - 1/2} 缩放，比例系数取决于收益函数的导数与初始波动率水平。
• ATMI偏度的渐近公式由两项构成：一项涉及收益函数的二阶导数与超几何积分，另一项涉及一阶导数与波动率水平。
• 通过数值示例验证，所推导的ATMI偏度与水平的渐近表达式在中等到期期限下表现良好。
• 该方法通过将奇异波动率衍生品与底层过程的马里亚文导数联系起来，成功将先前关于ATMI偏度的结果推广至更广泛的衍生品类别。