[论文解读] On stable homology of congruence groups

Aurélien Djament|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文通过将同余群上同调与函子上同调联系起来的谱序列，证明了在度数 $d$ 下，同余群的上同调定义了一个次数至多为 $2d$ 的弱多项式函子。它进一步证明，该函子可通过多项式函子的导出 Kan 扩张与张量结构，模去低次多项式函子来描述，从而推广了 Suslin 的切除结果，并通过新的函子方法扩展了 Church-Miller-Nagpal-Reinhold 的近期工作。

ABSTRACT

We show in this work that homology in degree d of a congruence group, in a very general framework, defines a weakly polynomial functor of degree at most 2d and we describe this functor modulo polynomial functors of smaller degree. Our main tool is a spectral sequence connecting homology of congruence-like groups (in a formal setting close to the one introduced with Vespa in 2010 for orthogonal groups) and functor homology. We prove and use in a crucial way properties of some tensor structures and derived Kan extensions on polynomial functors.Our results extend especially, with different methods, the work by Suslin on excision in integer algebraic K-theory and a recent preprint by Church-Miller-Nagpal-Reinhold.

研究动机与目标

• 为了在一般框架下理解同余群稳定上同调的结构。
• 为了将度数 $d$ 的上同调描述为次数至多 $2d$ 的弱多项式函子。
• 为了利用导出范畴技术，分析该函子模去低次多项式函子的结构。
• 为了利用函子与同调工具，推广 Suslin 在整数代数 K-理论中的切除准则。
• 为了通过函子上同调，将 Church-Miller-Nagpal-Reinhold 关于表示稳定性的近期结果扩展至同余群上同调。

提出的方法

• 在形式范畴设定下，构建一个连接同余型群上同调与函子上同调的谱序列。
• 利用多项式函子上的导出 Kan 扩张，分析上同调函子的稳定化与结构。
• 利用多项式函子上的张量结构，描述上同调函子的次数-$2d$ 部分。
• 在受 Djament-Vespa 对正交群研究启发的形式框架下工作，将其推广至同余群。
• 利用弱多项式函子及其分解的性质，分离出次数-$2d$ 分量。
• 使用范畴 $\mathbf{S}(\mathbf{ab})$（即带有分裂单射的有限生成自由交换群）来建模稳定化。

实验结果

研究问题

• RQ1 在稳定化下，同余群上同调作为函子的行为如何？
• RQ2 上同调函子 $H_d(GL(I);\mathbb{Z})$ 的精确多项式度数是多少？
• RQ3 如何描述该上同调函子模去低次多项式函子的结构？
• RQ4 导出 Kan 扩张与多项式函子上的张量结构，以何种方式控制同余群上同调的结构？
• RQ5 这些结果如何扩展 Suslin 的切除准则与近期的 FI-模结果？

主要发现

• 同余群在度数 $d$ 的上同调定义了一个次数至多为 $2d$ 的弱多项式函子。
• 函子 $H_d(GL(I);\mathbb{Z})$ 可通过导出 Kan 扩张与张量结构，模去次数小于 $2d$ 的多项式函子来描述。
• 所构造的谱序列在形式设定下将同余群上同调与函子上同调联系起来。
• 结果推广了整数代数 $K$-理论中 Suslin 的切除定理，表明当 $e$ 为首个非切除度数时，首个非平凡作用对应于次数 $2e$。
• 该框架通过函子上同调，扩展了 Church-Miller-Nagpal-Reinhold 关于同余子群表示稳定性的结果。
• 本文提供了一种新颖的函子方法来研究同余群的稳定上同调，与经典的同伦或谱序列方法有本质区别。