[论文解读] Derived Higher Hochschild Homology, Topological Chiral Homology and Factorization algebras

Rafael J. L. Morcillo, Thomas Tradler+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用 8

一句话总结

本文在$(\infty,1)$-范畴的背景下，建立了导出高阶Hochschild同调、拓扑手征同调与配分代数之间的基础等价关系。证明了在它们的共同定义域上，高阶Hochschild函子自然同构于拓扑手征同调，并表明拓扑手征同调在局部常数配分代数与$E_n$-代数之间诱导出一个等价关系，同时证明了流形乘积上的Fubini型指数律。

ABSTRACT

In this paper, we study the higher Hochschild functor and its relationship with factorization algebras and topological chiral homology. To this end, we emphasize that the higher Hochschild complex is a $(\infty,1)$-functor from the category $\hsset imes \hcdga$ to the category $\hcdga$ (where $\hsset$ and $\hcdga$ are the $(\infty,1)$-categories of simplicial sets and commutative differential graded algebras) and give an axiomatic characterization of this functor. From the axioms we deduce several properties and computational tools for this functor. We study the relationship between the higher Hochschild functor and factorization algebras by showing that, in good cases, the Hochschild functor determines a constant commutative factorization algebra. Conversely, every constant commutative factorization algebra is naturally equivalent to a Hochschild chain factorization algebra. Similarly, we study the relationship between the above concepts and topological chiral homology. In particular, we show that on their common domains of definition, the higher Hochschild functor is naturally equivalent to topological chiral homology. Finally, we prove that topological chiral homology determines a locally constant factorization algebra and, further, that this functor induces an equivalence between locally constant factorization algebras on a manifold and (local system of) $E_n$-algebras. We also deduce that Hochschild chains and topological chiral homology satisfies an exponential law, i.e., a Fubini type Theorem to compute them on products of manifolds.

研究动机与目标

• 将导出高阶Hochschild函子作为从单纯集与CDGA到CDGA的$(\infty,1)$-函子进行公理化表征。
• 澄清在导出与同伦设定下，高阶Hochschild同调、配分代数与拓扑手征同调之间的精确关系。
• 确立拓扑手征同调确定一个局部常数配分代数，并在局部常数配分代数与$E_n$-代数之间诱导出一个等价关系。
• 证明流形乘积上的拓扑手征同调具有Fubini型定理（指数律）。
• 表明在CDGA与空间的范畴上，高阶Hochschild函子与拓扑手征同调自然同构，并将其与非定向流形的blob复形联系起来。

提出的方法

• 将高阶Hochschild同调形式化为一个$(\infty,1)$-函子$CH: sSet_\infty \times CDGA_\infty \to CDGA_\infty$，强调其同伦性质与函子性质。
• 利用局部性公理（切除性）与同伦不变性来表征高阶Hochschild函子，从而通过同伦上积来实现计算。
• 应用Dwyer-Kan局部化与$(\infty,1)$-范畴理论，以同伦一致的方式建模Hochschild复形的导出结构。
• 通过局部常数配分代数的上推，建立拓扑手征同调与导出高阶Hochschild函子之间的典范等价关系。
• 利用blob复形框架，表明在非定向流形上，其与拓扑手征同调等价，从而将主要结果推广至更广泛的拓扑设定。
• 通过沿典范映射的上推与局部常数配分代数的结构，推导出流形乘积上的Fubini型定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在导出设定下，将高阶Hochschild函子公理化为一个$(\infty,1)$-函子？
• RQ2 高阶Hochschild同调、配分代数与拓扑手征同调之间的确切关系是什么？
• RQ3 拓扑手征同调是否在局部常数配分代数与$E_n$-代数之间诱导出一个等价关系？
• RQ4 在流形乘积上，是否存在一个Fubini型定理（指数律）？
• RQ5 blob复形与非定向流形上的拓扑手征同调之间有何关系？

主要发现

• 在CDGA与单纯集的范畴上，导出高阶Hochschild函子与拓扑手征同调自然同构。
• 拓扑手征同调确定一个局部常数配分代数，且该构造在流形上的局部常数配分代数与$E_n$-代数之间诱导出一个等价关系。
• Fubini型定理成立：$\int_{M\times N}\mathcal{A} \cong \int_M(\int_N\mathcal{A})$作为$E_d$-代数，推广了Hochschild链的指数律。
• 对于任意CDGA $A$，拓扑手征同调$\int_M A$是同伦不变的，因此当$M$与$N$是同调等价的流形时，有$\int_M A \cong \int_N A$。
• 高阶Hochschild复形$CH_{S^1}(A)$恢复了经典的Hochschild复形$CH_\bullet(A) = A^\otimes^{\bullet+1}$，确认了与经典理论的一致性。
• 在非定向流形上，blob复形与拓扑手征同调等价，将主要等价关系从定向设定推广至更广泛的拓扑环境。