[论文解读] On strictly semi-positive tensors

Yisheng Song, Liqun Qi|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2015

Tensor decomposition and applications参考文献 40被引用 4

一句话总结

本文通过证明其主子张量的所有 H⁺(Z⁺)-特征值均为正，建立了严格半正张量的基本性质。文中引入两个新常数以界定决定严格半正性的关键量，并利用这些常数为涉及此类张量的非线性互补问题推导出全局误差界。

ABSTRACT

In this paper, we prove that all H + (Z + )-eigenvalues of each principal sub-tensor of a strictly semi-positive tensor are positive. We define two new constants associated with H + (Z + )eigenvalues of a strictly semi-positive tensor. With the help of these two constants, we establish upper bounds of an important quantity whose positivity is a necessary and sufficient condition for a general tensor to be astrictly semi-positive tensor. The monotonicity and boundedness of such a quantity are established too. Furthermore, we present global error bound analysis for a class of the nonlinear complementarity problem defined by a strictly semi-positive tensor.

研究动机与目标

• 通过其 H⁺(Z⁺)-特征值表征严格半正张量的谱性质。
• 定义两个新常数，以界定决定严格半正性的关键量。
• 建立该关键量的单调性与有界性。
• 为由严格半正张量定义的非线性互补问题提供全局误差界。

提出的方法

• 证明严格半正张量的主子张量的所有 H⁺(Z⁺)-特征值均为正。
• 基于 H⁺(Z⁺)-特征值定义两个新常数，以界定与严格半正性相关的关键量。
• 利用这些常数推导出该关键量的上界，确保其正性是严格半正性的必要且充分条件。
• 通过解析不等式建立该关键量的单调性与有界性。
• 将推导出的界应用于分析非线性互补问题的全局误差界。
• 利用张量谱理论及非负张量的性质，支撑理论框架。

实验结果

研究问题

• RQ1 严格半正张量的主子张量中 H⁺(Z⁺)-特征值的谱性质是什么？
• RQ2 如何基于新常数界定决定严格半正性的关键量？
• RQ3 关键量的单调性与有界性与严格半正张量的结构之间存在何种关系？
• RQ4 所推导的界如何促进非线性互补问题中的误差估计？
• RQ5 能否利用严格半正张量的谱性质与结构特性，为非线性互补问题建立全局误差界？

主要发现

• 严格半正张量的每一个主子张量的所有 H⁺(Z⁺)-特征值均为正。
• 基于 H⁺(Z⁺)-特征值定义了两个新常数，为决定严格半正性的关键量提供了上界。
• 关键量具有单调性与有界性，这支持其在表征严格半正性中的应用。
• 关键量的正性是张量为严格半正的必要且充分条件。
• 利用推导出的常数与界，为非线性互补问题建立了全局误差界。
• 该理论框架使得基于张量的互补问题中解误差的定量分析成为可能。