[论文解读] On the Approximate Nearest Neighbor Queries among Curves under the Fréchet Distance

Majid Mirzanezhad|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2020

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 35被引用 4

一句话总结

本论文提出了首个在 ℝᵈ 中基于连续 Fréchet 距离的多边形曲线近似近邻搜索（ANNS）的确定性数据结构。当 k 已知时，其空间复杂度为 n·O((√d/ε)ᵏᵈ)，可在 O(kd) 时间内实现 (1+ε)δ-近似查询；当 k 为查询的一部分时，空间复杂度为 O((1/ε)ᵐᵈ)，支持高效的子轨迹查询与时间窗口查询，且查询响应时间为常数。

ABSTRACT

Approximate near-neighbors search ( extsc{ANNS}) is a long-studied problem in computational geometry. %that has received considerable attention by researchers in the community. In this paper, we revisit the problem and propose the first data structure for curves under the (continuous) Fréchet distance in $\Reals^d$. Given a set $¶$ of $n$ curves of size at most $m$ each in $\Reals^d$, and a real fixed $δ>0$, we aim to preprocess $¶$ into a data structure so that for any given query curve $Q$ of size $k$, we can efficiently report all curves in $¶$ whose Fréchet distances to $Q$ are at most $δ$. In the case that $k$ is given in the preprocessing stage, for any $\eps>0$ we propose a deterministic data structure whose space is $n \cdot O\big(\max\big\{\big(\frac{\sqrt{d}}{\eps}\big)^{kd}, \big(\frac{\D\sqrt{d}}{\eps^2}\big)^{kd}\big\}\big)$ that can answer extsc{$(1+\eps)δ$-ANNS} queries in $O(kd)$ query time, where $\D$ is the diameter of $¶$. Considering $k$ as part of the query slightly changes the space to $n \cdot O\big(\frac{1}{\eps}\big)^{md} $ with $O(kd)$ query time within an approximation factor of $5+\eps$. We show that our generic data structure for ANNS can give an alternative treatment of the approximate subtrajectory range searching problem studied by de Berg et al. [8]. We also revisit the time-window data structure for spatial density maps in [6]. Given $θ>0$, and $n$ time-stamped points spread over $m$ regions in a map, for any query window $W$, we propose a data structure of size $O(n/\eps^2)$ and construction time $O((n+m)/\eps^2)$ that can approximately return the regions containing at least $θ$ points whose times are within $W$ in $O(1)$ query time.

研究动机与目标

• 解决在高维空间 ℝᵈ 中基于连续 Fréchet 距离对曲线进行近似近邻搜索（ANNS）这一长期存在的挑战。
• 设计一种确定性且高效的数据库结构，支持对任意大小为 k 的查询曲线 Q 的 (1+ε)δ-近似查询。
• 将该框架扩展至处理相关问题，如近似子轨迹范围搜索（ASRS）和时空密度图的时间窗口查询。
• 为先前方法（特别是时空数据库中时间窗口数据结构）提供一种简化且高效的替代方案。

提出的方法

• 提出一种数据结构，通过时间与位置参数的基于网格的舍入方法对可能的曲线对齐空间进行离散化，以实现高效查找。
• 使用哈希表根据舍入后的时间窗口对区域或曲线段进行索引，实现常数时间的查询解析。
• 应用舍入技术将查询窗口 [q₁, q₂] 映射为附近的网格对齐窗口 W₁ 和 W₂，以控制近似误差。
• 利用 S₁ ⊆ S* ⊆ S₂ 的性质，其中 W₁ ⊆ W₂ 为舍入后的窗口，确保 (1+ε) 近似结果的正确性。
• 通过 (ε, d, k)-网与网格量化技术，限制相关曲线对齐的数量，设计出空间高效的 ANNS 数据结构。
• 将该方法集成至时间窗口数据结构中，实现 O(1) 查询时间，空间复杂度为 O(n/ε²)，构建时间复杂度为 O((n+m)/ε²)。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 ℝᵈ 中基于连续 Fréchet 距离，构建一种具有次线性空间和高效查询时间的 ANNS 确定性数据结构？
• RQ2 如何在保持实际空间与查询复杂度的前提下，将近似因子控制在 (1+ε)δ？
• RQ3 所提出的方法能否扩展以支持时空数据库中的近似子轨迹范围搜索（ASRS）与时间窗口查询？
• RQ4 能否在使用线性规模数据结构且次线性预处理时间的前提下，实现时间窗口查询的常数时间响应？

主要发现

• 所提出的数据库结构在 k 已知的预处理阶段，可在 O(kd) 时间内实现 (1+ε)δ-近似 ANNS 查询，空间复杂度为 n·O((√d/ε)ᵏᵈ)。
• 当 k 在预处理阶段未固定时，空间复杂度增加至 n·O((1/ε)ᵐᵈ)，但查询时间仍保持在 O(kd)，近似因子为 5+ε。
• 该方法在大小为 O(n/ε²) 的数据结构下，实现了时间窗口查询的 O(1) 查询时间，构建时间复杂度为 O((n+m)/ε²)。
• 通过使用两个网格舍入窗口 W₁ 和 W₂，该框架为时间窗口查询提供了 (1+ε) 近似，确保 S₁ ⊆ S* ⊆ S₂。
• 该方法为 Fréchet 距离下的 ANNS 与 ASRS 提供了一种简化且确定性的替代方案，优于以往的随机化或复杂方法。
• 该方法可适配处理连续与离散 Fréchet 距离，支持对称与非对称情形。