[论文解读] On the Betti Numbers of Finite Volume Hyperbolic Manifolds

Luca F. Di Cerbo, Mark Stern|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2020

Geometry and complex manifolds参考文献 30被引用 4

一句话总结

本文通过 $L^2$-上同调与双曲锥面的调和形式单调性不等式，为有限体积实双曲与复双曲流形的贝蒂数建立了有效的上界。结合体积估计、$L^2$-上同调秩界以及约化 $L^2$-上同调的拓扑解释，推导出紧致与非紧致情形下贝蒂数的显式多项式体积衰减率，改进了高维情形及非紧致商的先前结果。

ABSTRACT

We obtain strong upper bounds for the Betti numbers of compact complex-hyperbolic manifolds. We use the unitary holonomy to improve the results given by the most direct application of the techniques of [DS17]. We also provide effective upper bounds for Betti numbers of compact quaternionic- and Cayley-hyperbolic manifolds in most degrees. More importantly, we extend our techniques to complete finite volume real- and complex-hyperbolic manifolds. In this setting, we develop new monotonicity inequalities for strongly harmonic forms on hyperbolic cusps and employ a new peaking argument to estimate $L^2$-cohomology ranks. Finally, we provide bounds on the de Rham cohomology of such spaces, using a combination of our bounds on $L^2$-cohomology, bounds on the number of cusps in terms of the volume, and the topological interpretation of reduced $L^2$-cohomology on certain rank one locally symmetric spaces.

研究动机与目标

• 将有效贝蒂数上界从紧致情形扩展至完备有限体积实双曲与复双曲流形。
• 通过引入双曲锥面上调和形式的新单调性不等式，改进现有 $L^2$-上同调估计。
• 为大多数度数下紧致四元数与卡利-双曲流形的贝蒂数提供显式、有效的上界。
• 将 $L^2$-上同调界与体积及锥面计数估计相结合，推导出覆盖塔上德拉姆上同调的界。
• 为秩一局部对称空间建立归一化锥面界与约化 $L^2$-上同调的拓扑解释。

提出的方法

• 为实双曲与复双曲锥面上的强调和 $L^2$-形式建立新的单调性不等式。
• 采用新颖的峰值论证法，估算双曲锥面上的 $L^2$-上同调秩。
• 利用复双曲流形的酉全纯性，将估计结果超越嵌入球面的界限。
• 应用 [DS17] 中的 Price 不等式，通过体积与锥面计数约束将其推广至非紧致情形。
• 将 $L^2$-上同调界与基于体积的锥面计数估计及约化 $L^2$-上同调的拓扑解释相结合。
• 推导对称空间上 $L^2$-调和形式矩阵系数的微分方程，以控制其衰减与增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在紧致情形之外，为完备有限体积实双曲与复双曲流形建立贝蒂数的有效上界？
• RQ2 双曲锥面上的 $L^2$-上同调秩如何约束非紧致双曲流形的贝蒂数？
• RQ3 酉全纯性在复双曲流形中超越嵌入球面界限时，对贝蒂数上界改进有何作用？
• RQ4 体积与锥面计数估计如何相互作用，以限制有限体积双曲流形覆盖塔上的德拉姆上同调？
• RQ5 能否利用秩一局部对称空间上约化 $L^2$-上同调的拓扑解释，推导出全局上同调界？

主要发现

• 对于截面曲率介于 $-4$ 与 $-1$ 之间的紧致复双曲 $n$-流形，若 $k < n$，则归一化贝蒂数满足 $\frac{b^k(M)}{\text{Vol}(M)} \leq d(n,k) V_{\min}(M)^{\frac{k-n}{n}}$，其中 $V_{\min}(M)$ 为截面半径体积的下确界。
• 对于 $\mathrm{PU}(n,1)$ 中余紧算术格点的主同余子群，归一化贝蒂数以 $\text{Vol}(M)^{\frac{2k-2n+\epsilon}{n^2+2n}}$ 速率衰减，改进了对 $H^{k,0}$ 的先前界，并将其扩展至 $H^k$。
• 通过改进的峰值估计，为紧致四元数与卡利-双曲流形的大多数贝蒂数建立了有效上界。
• 对于完备有限体积实双曲与复双曲流形，本文通过新的单调性不等式与锥面的峰值论证，推导出 $L^2$-上同调界。
• 归一化锥面数量以体积为界，从而控制覆盖塔上的 $L^2$-上同调，导出渐近上同调界。
• 对于 $n$-维实双曲流形，当 $n-1 > 2k$ 时，$L^2$-矩阵系数 $f(t)$ 的衰减速率不低于 $e^{(n-1-2k)R}$，从而给出调和 $k$-形式 $L^2$-范数的下界。