[论文解读] On the Chow ring of certain algebraic hyper-Kähler manifolds

C. Voisin|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用 9

一句话总结

本文提出了贝乌维尔关于代数超凯勒流形的楚环猜想的广义版本，并证明了在上同调中，线丛与切丛的陈类之间的多项式关系可上移至楚群。该猜想在贝蒂数有界条件下对 $K3$ 表面的希尔伯特纲 $S^{[n]}$ 以及三次四fold 的直线法里诺簇成立，方法包括上同调消去与形变技术。

ABSTRACT

We study a generalization of a conjecture made by Beauville on the Chow ring of hyper-Kähler algebraic varieties. Namely we prove in a number of cases that polynomial cohomological relations involving only CH^1(X) and the Chern classes of X are satisfied in CH(X). These cases are : punctual Hilbert schemes of a K3 surface S parameterizing subschemes of length n, for n<2b_2(S)_tr+5; Fano varieties of lines in a cubic fourfold.

研究动机与目标

• 将贝乌维尔关于超凯勒流形楚环的猜想扩展至包含线丛与切丛陈类关系的情形。
• 在超越格形秩有界条件下，证明 $K3$ 表面希尔伯特纲 $S^{[n]}$ 的猜想。
• 证明三次四fold 直线法里诺簇的猜想，该情形并非希尔伯特纲。
• 通过证明 $K3$ 表面 $S^m$ 楚环更强猜想的特例，为猜想提供证据。

提出的方法

• 证明关键猜想（猜想 0.6）：当 $m$ 与对称性满足条件时，若 $CH(S^m)$ 中多项式表达式的上同调类为零，则其在 $CH(S^m)$ 中也为零。
• 利用 [5] 中关于 $K3$ 表面的结果，将问题约化为 $CH(S^m)$ 中 $c_1(L)$、$o$ 与 $ riangle_S$ 之间的关系。
• 应用形变理论与专门化论证，验证三次四fold 直线法里诺簇的猜想。
• 利用布洛赫-斯里尼瓦斯方法，将 $ ilde{F} \times F$ 上的循环与有理等价联系起来，借助对合 $ ilde{ heta}$ 的作用。
• 利用 $Pic\tilde{F}$ 与 $CH_1(\tilde{F})$ 由三次四fold 及其法里诺簇几何结构控制的性质。
• 利用已知的 $H^*(S^{[n]})$ 上同调结构与韦尔比特斯基的结果，分析低余维数下的楚环。

实验结果

研究问题

• RQ1 在超凯勒流形上，线丛与切丛陈类之间的每个多项式上同调关系是否也在楚群中成立？
• RQ2 对于哪些 $n$ 与 $K3$ 表面 $S$，广义贝乌维尔猜想对 $S^{[n]}$ 成立？
• RQ3 当法里诺簇并非希尔伯特纲时，该猜想是否对三次四fold 的直线法里诺簇成立？
• RQ4 在对称性或有界条件成立时，能否由多项式表达式在 $CH(S^m)$ 中的上同调类为零，推出其在 $CH(S^m)$ 中为零？
• RQ5 通过对称积，$S^{[n]}$ 的楚环与 $S^m$ 的楚环之间存在何种精确关系？

主要发现

• 当 $n \nleq 2b_2(S)_{tr} + 4$ 时，猜想 0.3 对 $Y = S^{[n]}$ 成立，将贝乌维尔原始猜想扩展至包含切丛类。
• 该猜想在三次四fold 的直线法里诺簇上成立，即使其非希尔伯特纲，且满足 $Pic(F) = \mathbb{Z}$。
• 对 $Y = S^{[n]}$，无论 $b_2(S)_{tr}$ 如何，猜想在余维数 $2n-2$、$2n-1$ 与 $2n$ 上均成立。
• 更强的定理 1.1 表明，若 $c_1(L)$、$c_i(\mathcal{O}_{[n]})$ 与 $c_j(T_n)$ 的多项式表达式在上同调中为零，则其在 $CH(S^{[n]})$ 中也为零，且满足相同有界条件。
• 证明依赖于验证猜想 0.6 的特例，该猜想指出：在 $CH(S^m)$ 中，若 $pr_i^*o$、$pr_j^*c_1(L)$ 与 $pr_{kl}^* riangle_S$ 的对称多项式表达式上同调类为零，则其在 $CH(S^m)$ 中也为零。
• 法里诺簇情形通过形变理论、对合 $\phi$ 的作用与布洛赫-斯里尼瓦斯方法得以确立，证明了循环类的有理等价性。