[论文解读] On the classification of Regular Lie groupoids

Ieke Moerdijk|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2002

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 24被引用 6

一句话总结

本文通过将正则李群丛的结构分解为两部分来实现其分类：首先，利用针对局部李群丛的新上同调理论，通过非交换Čech上同调对局部李群丛的扩张进行分类；其次，提供一个上同调障碍，以判断此类扩张能否从完整横截面回 lifted 到整个流形。当该障碍消失时，全局扩张的集合构成一个在核丛下的双 torsor 群上的主丛。

ABSTRACT

We observe that any regular Lie groupoid G over an manifold M fits
 into an extension K → G → E of a foliation groupoid E by a bundle of
 connected Lie groups K. If F is the foliation on M given by the orbits
 of E and T is a complete transversal to F, this extension restricts to T ,
 as an extension KT → GT → ET of an ´etale groupoid ET by a bundle of
 connected groups KT . We break up the classification into two parts. On
 the one hand, we classify the latter extensions of ´etale groupoids by (nonabelian)
 cohomology classes in a new ˇCech cohomology of ´etale groupoids.
 On the other hand, given K and E and an extension KT → GT → ET over
 T , we present a cohomological obstruction to the problem of whether this
 is the restriction of an extension K → G → E over M; if this obstruction
 vanishes, all extensions K → G → E over M which restrict to a given
 extension over the transversal together form a principal bundle over a
 “group” of bitorsors under K.We observe that any regular Lie groupoid G over an manifold M fits
 into an extension K → G → E of a foliation groupoid E by a bundle of
 connected Lie groups K. If F is the foliation on M given by the orbits
 of E and T is a complete transversal to F, this extension restricts to T ,
 as an extension KT → GT → ET of an ´etale groupoid ET by a bundle of
 connected groups KT . We break up the classification into two parts. On
 the one hand, we classify the latter extensions of ´etale groupoids by (nonabelian)
 cohomology classes in a new ˇCech cohomology of ´etale groupoids.
 On the other hand, given K and E and an extension KT → GT → ET over
 T , we present a cohomological obstruction to the problem of whether this
 is the restriction of an extension K → G → E over M; if this obstruction
 vanishes, all extensions K → G → E over M which restrict to a given
 extension over the transversal together form a principal bundle over a
 “group” of bitorsors under K.

研究动机与目标

• 通过将正则李群丛的结构分解为叶层群丛与连通李群丛的扩张，实现其系统分类。
• 为局部李群丛开发一种新的非交换Čech上同调理论，以对完整横截面上的扩张进行分类。
• 提供一个上同调障碍，以判断给定的横截面上的扩张是否能提升为整个流形上的全局扩张。
• 当障碍消失时，描述所有此类全局扩张的模空间为在核丛下的双 torsor 群上的主丛。

提出的方法

• 将流形 M 上的正则李群丛 G 分解为扩张 K → G → E，其中 E 为叶层群丛，K 为连通李群丛。
• 识别由 E 在 M 上诱导的叶层 F 的一个完整横截面 T，从而将分类问题约化至 T 上。
• 利用针对局部李群丛的新非交换Čech上同调理论，对 T 上的扩张 KT → GT → ET 进行分类。
• 在此上同调理论中构造一个上同调障碍，以判断给定的横截面上的扩张是否能提升为 M 上的扩张。
• 当障碍消失时，将所有此类全局扩张的空间描述为在核丛 K 下的双 torsor 群上的主丛。
• 利用双 torsor 与群作用的结构，在障碍消失的条件下对扩张集合进行参数化。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过其结构扩张对正则李群丛进行系统分类？
• RQ2 何种上同调不变量可对局部李群丛的扩张（由连通李群丛实现）进行分类？
• RQ3 在何种条件下，横截面上的扩张可被提升至整个流形？
• RQ4 当提升障碍消失时，所有全局扩张空间的几何结构为何？
• RQ5 在核丛 K 下的双 torsor 如何对这些全局扩张的集合进行参数化？

主要发现

• 正则李群丛的分类问题可约化为通过一种新的非交换Čech上同调理论对局部李群丛的扩张进行分类。
• 在完整横截面 T 上的扩张由该新理论中的上同调类所分类，从而提供了一套局部分类机制。
• 在相同上同调理论中构造的上同调障碍，可判断横截面上的扩张是否能提升至整个流形。
• 当障碍消失时，形成给定横截面扩张的所有全局扩张构成一个在核丛 K 下的双 torsor 群上的主丛。
• 此类全局扩张的模空间在双 torsor 群作用下构成一个 torsor，反映了对称性与分类数据。
• 该框架通过横截面约化与上同调提升，建立了对正则李群丛的完整障碍理论与分类机制。