[论文解读] On the Complete Evaluation of Jacobi Theta Functions

Nikos Bagis|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2015

Advanced Mathematical Identities参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文提出了一套全面的框架，用于利用模形式、Dedekind eta 函数与奇异模 $k_r$ 之间的代数关系，在奇异模处评估 Jacobi theta 函数。该文猜想当 $r$ 为有理数时，$q = e^{-/pi\sqrt{r}}$ 处的 theta 函数值为代数数，并通过插值与模恒等式推导出显式求值公式，利用 Mathematica 的 RootApproximant 例程进行数值验证。

ABSTRACT

Using numerical, theoretical and general methods, we construct evaluation formulas for the Jacobi $θ$ functions. Some of our results are conjectures, but are verified numerically.

研究动机与目标

• 开发一种利用代数与模恒等式在奇异模处求值 Jacobi theta 函数的一般方法。
• 猜想当 $q = e^{-/pi\\sqrt{r}}$ 且 $r$ 为有理数时，theta 函数值为代数数。
• 通过 Dedekind eta 函数与奇异模，推导 $ heta_4(a,b;q)$ 及相关 theta 函数的显式求值公式。
• 建立基于插值与符号根查找的计算算法，以确定 theta 函数值的最小多项式。
• 证明某些 theta 函数在同余子群 $\Gamma(2p)$ 下作为权为 $1/2$ 的模形式变换。

提出的方法

• 使用恒等式 $A(a,p;q) = q^{p/12 - a/2 + a^2/(2p)} \eta(q^p)^{-1} \theta_4(p/2, p/2 - a; q)$ 将 theta 函数与 Dedekind eta 函数关联。
• 应用变换 $\eta(q) = 2^{1/3}\pi^{-1/2}q^{-1/24}k_r^{1/12}k_r^{*1/3}K(k_r)^{1/2}$（当 $q = e^{-\pi\sqrt{r}}$ 时），将 $\eta(q)$ 表示为 $k_r$ 的函数。
• 通过 Mathematica 的 RootApproximant 进行数值插值，以识别 $A(a,p;q)$ 与 $k_r$ 之间的最小多项式。
• 通过假设 $A(a,p;q) = Q_{\{a,p\}}(k_r)$（其中 $Q$ 为代数函数）推导求值公式，并通过数值方法验证该猜想。
• 利用 theta 函数在 $\Gamma(2p)$ 下的模变换性质，证明某些 theta 级数的模性。
• 依赖 Klein $J_0$-不变量及其逆，将 theta 函数的幂表示为模不变量的代数函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于有理数 $a,b$，Jacobi theta 函数 $\theta_4(a,b;q)$ 在 $q = e^{-\pi\sqrt{r}}$（$r$ 为有理数）处能否以闭式表达？
• RQ2 当 $q = e^{-\pi\sqrt{r}}$ 且 $r \in \mathbb{Q}^+$ 时，$A(a,p;q) = q^{p/12 - a/2 + a^2/(2p)} \eta(q^p)^{-1} \theta_4(p/2, p/2 - a; q)$ 的值是否为代数数？
• RQ3 $A(a,p;q)$ 关于奇异模 $k_r$ 满足的最小多项式是什么？
• RQ4 如何从具有有理二次指数的 theta 函数构造权为 $1/2$ 的模形式？
• RQ5 能否利用反奇异模函数显式计算 $A(1,4;q)$ 的 $n$-阶模方程？

主要发现

• 当 $a=1$，$p=4$ 时，恒等式 $A(1,4;q)^{24} = \frac{16(1 - k_r^2)^2}{k_r^2}$ 成立，从而得到 $A(1,4;q) = \sqrt[12]{\frac{4(1 - k_r^2)}{k_r}}$。
• 定理 1 给出 $\theta_4(2,1;q) = q^{1/24}\eta(q^4)\sqrt[12]{\frac{4(1 - k_r^2)}{k_r}}$（当 $q = e^{-\pi\sqrt{r}}$ 时）。
• 当 $a=1/2$，$p=2$ 时，$A(1/2,2;q) = \sqrt[24]{\frac{4(1 - k_r)^4}{k_r(1 + k_r)^2}}$，与前一情形的 $q^{1/2}$-平移版本一致。
• 定理 2 提供了 $\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n q^{2n^2 + 3n/2}$ 的闭式表达：$q^{-11/96}\eta(q^4)\sqrt[48]{\frac{4(1-k_r)^4(2+k_r-2\sqrt{1+k_r})^{12}}{k_r^{13}(1+k_r)^2}}$。
• 提供了一份包含 5 个求值的表格，每个均通过 $A(a,p;q)$ 与 $k_r$ 之间的最小多项式将 theta 函数与模函数关联。
• 定理 41 确认 $\theta(a,p;z)$ 是 $\Gamma(2p}$ 上权为 $1/2$ 的模形式，满足标准模变换关系，且含 24 次单位根的乘子。