[论文解读] On the Complexity of Isomorphism Problems Related to Polytopes

Volker Kaibel, Alexander Schwartz|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2001

Advanced Graph Theory Research参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文证明了判断凸多面体之间的组合同构是图同构完全问题，即使对于简单多面体或单纯多面体也是如此。然而，它提出了一种在有界维数下使用Luks算法求解多面体同构的多项式时间算法。

ABSTRACT

We show that the problem to decide whether two (convex) polytopes are combinatorially isomorphic is graph isomorphism complete, even for simple or simplicial polytopes. On the other hand, we give a polynomial time algorithm for the polytope isomorphism problem in bounded dimension, which is based on Luks' algorithm for the isomorphism problem of graphs of bounded maximal degree.

研究动机与目标

• 确定判断凸多面体之间组合同构的计算复杂性。
• 研究同构问题在简单或多面体等特殊类别中是否仍然困难。
• 在维数有界时开发一种高效的多面体同构算法。
• 在结构化设置中建立多面体同构与图同构之间的联系。

提出的方法

• 通过组合结构编码，将多面体同构问题归约为图同构问题。
• 通过证明该问题属于GI且GI难，表明其为图同构完全问题。
• 将Luks算法应用于有界度图的图同构问题，推广至多面体情形。
• 利用维数有界性限制相关图的最大度，从而实现多项式时间计算。
• 利用多面体的面格结构，将同构约束编码为图论术语。
• 采用与维数相关的顶点度数界，以确保Luks算法的效率。

实验结果

研究问题

• RQ1 凸多面体的组合同构问题在计算上是否困难？
• RQ2 对于简单或多面体等特殊多面体类别，复杂性是否依然很高？
• RQ3 在维数有界时，同构问题能否被高效求解？
• RQ4 在结构化设置中，多面体同构与图同构之间存在何种关系？
• RQ5 Luks的有界度图同构算法能否被适配用于多面体同构问题？

主要发现

• 判断凸多面体之间组合同构的问题是图同构完全问题。
• 即使限制在简单或多面体情形，该困难性结果依然成立。
• 在有界维数下，多面体同构问题存在多项式时间算法。
• 该算法依赖于将多面体结构编码为最大度有界的图。
• 维数有界性确保相关图具有有界度，从而可应用Luks算法。
• 归约过程正确且紧致，确立了其在GI复杂度类中的完全性。