[论文解读] On the congruence kernel of isotropic groups over rings

Anastasia Stavrova|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文在环 $R$ 和群类型满足温和条件时，确立了在连通诺特环上，对于具有非奇异性的单连通半单群，其初等子群 $E(R)$ 的投影完备化中的同余核的中心性。证明依赖于为非奇异群构造斯坦伯格群，并通过局部-整体原理和可dense子群论证，分析其在投影完备化和同余完备化下的行为。

ABSTRACT

Let R be a connected noetherian commutative ring, and let G be a simply connected reductive group over R of isotropic rank ge 2. The elementary subgroup E(R) of G(R) is the subgroup generated by the R-points U_P^+(R) and U_P^-(R) of the unipotent radicals of two opposite parabolic subgroups P^+ and P^- of G. Assume that 2 is invertible in R if G is of type B_n,C_n,F_4,G_2 and 3 is invertible in R if G is of type G_2. We prove that the congruence kernel of E(R), defined as the kernel of the natural homomorphism between the profinite completion of E(R) and the congruence completion of E(R) with respect to congruence subgroups of finite index, is central. In the course of the proof, we construct Steinberg groups associated to isotropic reductive groups and show that they are central extensions of E(R) if R is a local ring.

研究动机与目标

• 将同余核的中心性从分裂群推广到一般诺特环上的非奇异半单群。
• 在环论条件温和的前提下，确立初等子群 $E(R)$ 的同余核在其投影完备化 $\widehat{E(R)}$ 中的中心性。
• 将拉品奇克-拉品奇克与卡萨博夫-尼科洛夫的结果推广至任意连通诺特环上秩 $\geq 2$ 的非奇异群。
• 为非奇异半单群构造斯坦伯格群，并证明当 $R$ 为局部环时，其为 $E(R)$ 的中心扩张。
• 在给定假设下，证明同余完备化 $\overline{E(R)}$ 与 $\overline{G(R)}$ 一致，从而可通过局部数据实现全局分析。

提出的方法

• 为局部环上的非奇异半单群构造斯坦伯格群，证明其为 $E(R)$ 的中心扩张。
• 利用 $R$ 的极大理想 $m$ 处 $G$ 的局部结构，通过 $\hat{R}_m$-完备化分析 $\widehat{E(R)}$ 和 $\overline{E(R)}$ 的完备化。
• 通过证明 $E(R)$ 在 $\widehat{E(R)}$ 中的像在由局部完备化 $\hat{\Gamma}_m$ 生成的子群 $\Delta$ 中是稠密的，应用局部-整体原理。
• 利用 $\widehat{U_{(\delta)}(R)} \cong U_{(\delta)}(\hat{R})$ 的事实，并借助引理 5.4 将局部幂零子群嵌入投影完备化。
• 利用紧致子集 $S \subseteq \widehat{E(R)}$ 到 $E(\hat{R})$ 的映射的满射性，证明 $C \cap \Delta_m$ 在 $C$（同余核）中稠密。
• 利用 $\hat{\Gamma}_m$ 与 $\hat{\Gamma}_m'$ 及 $C \cap \Delta_m$ 交换的性质，且由于 $\Delta$ 在 $\widehat{E(R)}$ 中稠密，故核 $C$ 在 $\widehat{E(R)}$ 中中心。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $G$ 是连通诺特环 $R$ 上的非奇异单连通半单群时，初等子群 $E(R)$ 的同余核是否在它的投影完备化中是中心的？
• RQ2 分裂群的中心性结果能否推广到一般环上秩 $\geq 2$ 的非奇异群？
• RQ3 斯坦伯格群在局部环上非奇异群的 $E(R)$ 结构中起什么作用？
• RQ4 当 $G$ 具有非奇异秩 $\geq 2$ 时，$E(R)$ 的投影完备化与同余完备化之间有何关系？
• RQ5 在何种条件下 $\overline{E(R)} = \overline{G(R)}$ 成立，从而可实现通过局部分析进行全局推导？

主要发现

• 对于任意连通诺特环 $R$ 及秩 $\geq 2$ 的非奇异单连通半单群 $G$，同余核 $C = \ker(\widehat{E(R)} \to \overline{E(R)})$ 在 $\widehat{E(R)}$ 中是中心的。
• 在给定假设下，同余完备化 $\overline{E(R)}$ 与 $\overline{G(R)}$ 一致，从而可通过局部数据实现全局分析。
• 对于任意局部环 $R$，与 $G$ 关联的斯坦伯格群是 $E(R)$ 的中心扩张，提供了关键的结构工具。
• 由局部完备化 $\hat{\Gamma}_m$ 生成的子群 $\Delta \subseteq \widehat{E(R)}$ 在 $\widehat{E(R)}$ 中是稠密的，从而支持全局中心性论证。
• 由于 $\sum_{m} \hat{R}_m$ 在 $\hat{R}$ 中稠密，且 $\widehat{U_{(\delta)}(R)} \cong U_{(\delta)}(\hat{R})$，故 $E(R)$ 的像在 $\widehat{E(R)}$ 中稠密。
• 核 $C$ 被所有 $\hat{\Gamma}_m$ 交换，且由于这些元素生成一个在 $\widehat{E(R)}$ 中稠密的子群，故 $C$ 在 $\widehat{E(R)}$ 中是中心的。