[论文解读] On the Convergence of Optimal Measures

Thomas Bloom, Len Bos+2 more|ArXiv.org|Aug 6, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 7被引用 4

一句话总结

该论文在加权全纯势论中建立了最优测度的弱-*收敛性——最优测度被定义为在非全纯极小集 $K \subset \mathbb{C}^d$ 上使最大 Christoffel 函数最小化的概率测度，且具有可容许权函数 $w = e^{-\phi}$——收敛于平衡测度 $\mu_{K,\phi}$。通过应用 Berman 和 Boucksom 关于能量泛函的结果以及 Rumely 公式，证明了当度数 $n \to \infty$ 时，最优测度序列收敛于平衡测度，从而将已知的 Fekete 点和 Leja 序列的收敛结果推广至更广义的最优测度类。

ABSTRACT

Using recent results of Berman and Boucksom we show that for a non-pluripolar compact set K in C^d and an admissible weight function w=e^{-ϕ} any sequence of so-called optimal measures converges weak-* to the equilibrium measure μ_{K,ϕ} of (weighted) Pluripotential Theory for K,ϕ.

研究动机与目标

• 在 $\mathbb{C}^d$ 中的非全纯极小紧集上，建立加权全纯势论中最优测度弱-*收敛于平衡测度的结果。
• 将已知的 Fekete 点和 Leja 序列的收敛结果推广至通过 Christoffel 函数极小化定义的更广义最优测度类。
• 通过全纯势论工具，建立最优测度、Gram 矩阵行列式最大化与平衡测度之间的统一框架。

提出的方法

• 将度数为 $n$ 的最优测度定义为 $K$ 上的概率测度，使其最小化 $\max_{z \in K} \sqrt{K_n^\mu(z)}$，其中 $K_n^\mu(z)$ 是全纯多项式次数 $\leq n$ 的再生核的对角线元素。
• 利用分解式 $G_n^\mu = V_n^\mu (V_n^\mu)^*$，建立最小化最大 Christoffel 函数与固定基下 Gram 矩阵行列式最大化之间的等价性。
• 应用 Rumely 公式，将全纯直径 $\delta^w(K)$ 表示为混合能量 $\mathcal{E}(V_{K,\phi}^*, V_T)$ 的形式，并利用 Berman 和 Boucksom 关于能量泛函关于权函数扰动的导数公式。
• 引入一参数族权函数 $w_t = w \exp(-t u)$，分析关联函数 $f_n(t) = -\frac{1}{2m_n} \log \det G_n^{\mu_n, w_t}$，证明 $\liminf_{n \to \infty} f_n(t) \geq -\log \delta^{w_t}(K)$。
• 利用 Berman 和 Boucksom [BB2] 的引理 3.2，得出 $\lim_{n \to \infty} f_n'(0) = g'(0)$，其中 $g(t) = -\log \delta^{w_t}(K)$，从而通过测试函数的积分得出测度收敛性。
• 通过验证对所有连续函数 $u$ 都有 $\int_K u \, d\mu_n \to \int_K u \, d\mu_{K,\phi}$，最终得出 $\mu_n \to \mu_{K,\phi}$ 弱-*收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $\mathbb{C}^d$ 中的非全纯极小紧集 $K$ 及可容许权函数 $w = e^{-\phi}$，当 $n \to \infty$ 时，其最优测度序列是否弱-*收敛于平衡测度 $\mu_{K,\phi}$？
• RQ2 是否可通过全纯势论中能量泛函的导数，特别是 Berman-Boucksom 导数公式，建立最优测度的收敛性？
• RQ3 在加权 $L^2$-空间中，多项式基的 Gram 矩阵行列式最大化与最大 Christoffel 函数最小化之间有何关系？
• RQ4 最优测度的弱-*收敛性是否可视为 Fekete 点与 Leja 序列在多项式插值中已知收敛结果的推广？

主要发现

• 当 $n \to \infty$ 时，$K$ 与权函数 $w = e^{-\phi}$ 对应的最优测度序列 $\mu_n$ 弱-*收敛于平衡测度 $\mu_{K,\phi}$，从而在加权全纯势论中确立了一项基本收敛结果。
• 最优测度具有性质 $\max_{z \in K} K_n^\mu(z) = N = \binom{d+n}{n}$，即最大 Christoffel 函数的最小可能值。
• 对于 $\mathcal{P}_n$ 的任意固定基 $B_n$，最优测度在 $K$ 上的概率测度中，使 Gram 矩阵 $G_n^\mu(B_n)$ 的行列式最大化，从而将逼近论与正交多项式中的极值问题联系起来。
• 收敛性通过全纯直径 $\delta^{w_t}(K)$ 关于权函数扰动的导数得到证明，结合 Rumely 公式与 Berman-Boucksom 导数恒等式。
• 弱-*收敛性由对数行列式泛函 $f_n(t)$ 在 $t=0$ 处的导数收敛性推出，该导数与能量泛函 $g(t)$ 的导数一致，从而由 [BB2] 的引理 3.2 推出测度收敛。
• 该结果将已知的 Fekete 点与 Leja 序列的收敛性推广至更广义的最优测度类，表明此类测度关于平衡测度 $\mu_{K,\phi}$ 渐近等分布。