[论文解读] Growth of balls of holomorphic sections and energy at equilibrium

Robert J. Berman, Sébastien Boucksom|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 57被引用 12

一句话总结

本文建立了高次张量幂的正则线丛的全纯截面空间中上范数单位球体积增长与平衡态下Monge-Ampère能量泛函之间的精确渐近关系。证明了该能量泛函的可微性，并利用它恢复并推广了Rumely关于无穷远直径的Robin型公式，同时推导出解析 torsion 的渐近公式，并将Yuan的小点等分布定理推广至大线丛。

ABSTRACT

Let X be a compact complex manifold endowed with a big line bundle L. We define the energy at equilibrium of a weighted subset as the Monge-Ampere energy of the associated extremal plurisubharmonic weight. We prove the differentiability of the energy at equilibrium with respect to the weight, and show that this energy describes the asymptotic behaviour as k goes to infinity of the volume of the induced sup-norm unit ball in the space of global sections of kL. As a consequence of these results, we extend Rumely's Robin-type formula for the transfinite diameter. We also obtain an asymptotic description of the analytic torsion and extend Yuan's equidistribution theorem for algebraic points of small height to the case of a big line bundle.

研究动机与目标

• 理解大线丛高次张量幂的全 holomorphic 截面空间中上范数单位球的渐近体积增长。
• 为加权紧子集 (K, φ) 定义并研究平衡态能量，将其与Monge-Ampère能量泛函联系起来。
• 证明平衡态能量关于权函数 φ 的可微性。
• 利用该能量泛函恢复并推广Rumely关于无穷远直径的Robin型公式。
• 推导解析 torsion 的渐近公式，并将Yuan关于小点的等分布定理从ample线丛推广至big线丛。

提出的方法

• 通过当前的非极值乘积定义与 (K, φ) 相关的极值psh权函数的Monge-Ampère能量，作为平衡态能量。
• 利用分部积分法及混合Monge-Ampère算子的性质，证明Monge-Ampère能量泛函 E(φ) 关于 φ 的可微性。
• 利用Bergman畸变函数与Bernstein-Markov性质，将全纯截面空间上的 L² 与 L∞ 范数联系起来。
• 通过上范数单位球体积的标度极限，利用涉及对数体积增长与 E(φ) 的公式，将体积的渐近增长与能量泛函联系起来。
• 通过实体积与复体积之间的对偶性，利用Stirling公式控制实体积与复体积增长之比。
• 通过分析高度函数的渐近行为并利用具有极限导数条件的凹函数的变分原理，证明小点的等分布性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 k → ∞ 时，H⁰(X, kL) 中上范数单位球的体积如何渐近增长？
• RQ2 这种体积增长与平衡态下的Monge-Ampère能量泛函之间存在何种精确关系？
• RQ3 能否证明平衡态能量关于权函数 φ 的可微性？
• RQ4 平衡态能量如何恢复或推广Rumely关于无穷远直径的Robin型公式？
• RQ5 能否利用此能量框架将Yuan关于小点的等分布定理从ample线丛推广至big线丛？

主要发现

• H⁰(X, kL) 中上范数单位球的渐近对数体积增长由平衡态能量给出：limₖ→∞ (1/kNₖ) log volₖℬ∞(kφ) = ℰ_eq(φ)。
• 平衡态能量关于 φ 可微，其导数为 (φ₂ − φ₁) 对 MA(φ₁) 的积分。
• 能量泛函 ℰ(φ) 通过公式 ℰ(φ) − ℰ(ψ) = 1/(n+1) ∑ⱼ₌₀ⁿ ∫ₓ (φ−ψ)(ddᶜφ)ʲ ∧ (ddᶜψ)ⁿ⁻ʲ 定义，该公式对具有最小奇异性的小型psh权函数成立。
• 紧致非极值集 K 的无穷远直径通过公式 limₖ→∞ (1/k) log Dₖ(K) = −ℰ_eq(φ) 恢复，其中 Dₖ(K) 为第 k 个无穷远直径。
• 证明了线丛 L 的解析 torsion 具有与平衡态能量相关的渐近展开式。
• Zhang 意义下的小点等分布性被推广至大线丛：小点的伽罗瓦轨道等分布于与 (K, φ) 相关的平衡当前。