[论文解读] On the dynamic representation of some time-inconsistent risk measures in a Brownian filtration

Julio Backhoff‐Veraguas, Ludovic Tangpi|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2016

Risk and Portfolio Optimization参考文献 36被引用 3

一句话总结

本文通过在布朗运动滤子中使用PDE技术，为时间不一致的风险度量——特别是优化确定等价（OCE）度量——建立了动态表示。通过扩展状态空间并应用随机控制与粘性解方法，推导出动态规划原理及一类非线性PDE（HJB型），实现了即使在缺乏时间一致性的情况下对OCE风险度量的动态计算，涵盖条件风险价值（CVaR）和单调均差风险度量等情形。

ABSTRACT

It is well-known from the work of Kupper and Schachermayer that most law-invariant risk measures do not admit a time-consistent representation. In this work we show that in a Brownian filtration the "Optimized Certainty Equivalent" risk measures of Ben-Tal and Teboulle can be computed through PDE techniques, i.e. dynamically. This can be seen as a substitute of sorts whenever they lack time consistency, and covers the cases of conditional value-at-risk and monotone mean-variance. Our method consists of focusing on the convex dual representation, which suggests extending the state space. With this we can obtain a dynamic programming principle and use stochastic control techniques, along with the theory of viscosity solutions, which we must adapt to cover the present singular situation.

研究动机与目标

• 解决条件风险价值与单调均差等广泛使用风险度量所存在的时间不一致性问题。
• 通过布朗运动滤子中的PDE技术，为时间不一致风险度量建立动态表示。
• 扩展状态空间，以恢复OCE风险度量的动态规划原理。
• 将粘性解理论适配于处理无界随机控制问题中出现的奇异哈密顿函数。
• 通过实现对原本非时间一致风险度量的动态计算，提供时间一致性的替代方案。

提出的方法

• 聚焦OCE风险度量的共轭对偶表示，以提出适用于动态规划的扩展状态空间。
• 在扩展后的状态空间中推导动态规划原理，以实现对风险度量的动态建模。
• 运用随机控制技术，并将粘性解理论适配于处理无界控制问题中出现的奇异哈密顿函数。
• 通过动态规划原理，建立动态风险度量与非线性PDE（HJB方程）之间的联系。
• 应用伊tô公式与鞅表示定理，以值函数梯度的形式构造控制过程β。
• 通过光滑化与逼近论证，将一般情形约化为光滑有界过程，从而实现严谨的PDE分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 时间不一致风险度量（如条件风险价值与单调均差）是否可在布朗运动滤子中实现动态表征？
• RQ2 尽管缺乏时间一致性，是否仍可为OCE风险度量推导出动态规划原理？
• RQ3 粘性解技术是否可被适配以处理与风险度量相关的无界随机控制问题中出现的奇异哈密顿函数？
• RQ4 如何扩展状态空间，以恢复对分布不变且时间不一致的风险度量的动态表征？
• RQ5 所提出方法在多大程度上可推广至OCE框架之外的基于效用的期望短缺度量？

主要发现

• 即使在时间一致性不成立的情况下，仍通过布朗运动滤子中的非线性PDE（HJB方程）为OCE风险度量建立了动态表征。
• 在扩展状态空间中推导出动态规划原理，实现了对条件风险价值与单调均差等风险度量的动态计算。
• 成功将粘性解技术适配于处理此类情境下无界随机控制问题中出现的奇异哈密顿函数。
• 控制过程β被显式构造为值函数梯度与值函数本身的比值，通过逼近方法确保其有界性。
• 该方法适用于具有幂型惩罚函数的OCE风险度量，包括基于Rényi散度的度量，覆盖了金融与监管中常用的关键风险度量。
• 该方法未能完全推广至基于效用的期望短缺度量，表明其在OCE类之外的适用性存在局限。