[论文解读] On the exceptional zeros of $p$-non-ordinary $p$-adic $L$-functions and a conjecture of Perrin-Riou

Denis Benois, Kâzım Büyükboduk|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用 8

一句话总结

本文为模形式的 $p$-非典型 $p$-进 $L$-函数建立了两变量 $p$-进贝利松公式，将 $p$-进 $L$-函数在中心临界点处的二阶导数与扩展的三角化塞尔默群上的 $p$-进正规化联系起来。证明了佩林-鲁伊猜想的精化版本，并通过 $p$-进高度配对和科尔曼族给出了当解析秩为一的异常零点的公式。

ABSTRACT

Our goal in this article is to prove a form of $p$-adic Birch and Swinnerton-Dyer formula for the second derivative of the $p$-adic $L$-function associated to a newform $f$ which is non-crystalline semistable at $p$ at its central critical point, by expressing this quantity in terms of a $p$-adic (cyclotomic) regulator defined on an extended trianguline Selmer group. We also prove a two-variable version of this result for height pairings we construct by considering infinitesimal deformations afforded by a Coleman family passing through $f$. This, among other things, leads us to a proof of an appropriate version of Perrin-Riou's conjecture in this set-up.

研究动机与目标

• 证明一个非典型、$p$-半稳定的新形式（偶权）的 $p$-进 $L$-函数二阶导数的 $p$-进比尔奇与斯温顿-戴尔公式。
• 通过科尔曼族中的无穷小形变，建立两变量 $p$-进高度配对，将权重 2 的结果推广至更高权重。
• 证明佩林-鲁伊关于异常零点的猜想在非典型情形下的精化版本。
• 将 $p$-进 $L$-函数的零点阶数与一个 Heegner 循环的 $p$-进阿贝尔-雅可比像及贝利松-卡托类的非零性联系起来。
• 将贝利松-卡托公式推广至非典型情形，拓展了权重 2 和典型情形下的先前结果。

提出的方法

• 利用 $(\varphi,\Gamma)$-模理论与伊wasawa上同调，在扩展的三角化塞尔默群上构造一个 $p$-进高度配对。
• 利用通过新形式 $f$ 的科尔曼族 $\mathbf{f}$ 定义两变量 $p$-进 $L$-函数，并研究其导数。
• 应用两变量佩林-鲁伊对数，将 $p$-进 $L$-函数的二阶导数与 $p$-进正规化及局部上同调类联系起来。
• 依赖布洛赫-卡托塞尔默复形及其对偶性，定义 $p$-进高度配对并分析其非退化性。
• 通过广义格罗斯–萨吉尔–张公式，建立贝利松-卡托类与 Heegner 循环的 $p$-进阿贝尔-雅可比像之间的联系。
• 运用阿米塞–韦洛–马宁–维什克型 $p$-进 $L$-函数理论，并通过 $\mathfrak{L}_p$-函数将它们与贝利松-卡托元联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 非典型、$p$-半稳定的新的新形式的 $p$-进 $L$-函数在中心临界点处的二阶导数的精确公式是什么？
• RQ2 该 $p$-进 $L$-函数的零点阶数如何与 Heegner 循环的 $p$-进阿贝尔-雅可比像的非零性相关？
• RQ3 是否能通过科尔曼族构造两变量 $p$-进高度配对，以研究非典型情形下的异常零点？
• RQ4 $p$-进高度配对的非退化性在多大程度上蕴含 $p$-进 $L$-函数的零点阶数？
• RQ5 贝利松-卡托类是否能检测非典型情形下的异常零点现象，其与 $p$-进 $L$-函数的关系如何？

主要发现

• 在 $s=k/2$ 处，$p$-进 $L$-函数 $L_{p,\alpha}(f,\omega^{k/2},s)$ 的二阶导数可表示为扩展的三角化塞尔默群上的 $p$-进正规化与算术不变量（包括 $\mathscr{A}_N(k,0)$ 和 $\Gamma(k/2)$）的乘积。
• 当 $r_{\textup{an}}(f) = 1$ 时，若 Heegner 循环的 $p$-进阿贝尔-雅可比像非零，则 $p$-进 $L$-函数在 $s=k/2$ 处的零点阶数恰好为 2。
• $\textup{res}_p([z_f^{\textup{BK}}])$ 的非零性在 $p$-进高度配对非退化的假设下，等价于 $p$-进 $L$-函数的二阶零点。
• 本文确认了佩林-鲁伊猜想的高权、$p$-半稳定类比，表明当复 $L$-函数一阶为零时，$p$-进 $L$-函数具有二阶异常零点。
• 公式 (7.9) 明确给出了 $p$-进阿贝尔-雅可比像的平方与 $\mathfrak{L}_p$-函数二阶导数之间的关系，涉及 $a(k)$、$\mathscr{A}_N(k,0)$ 和 $\Gamma(k/2)$。
• 在塔特–沙法列维奇群有限性与 $\mathcal{L}$-不变量非零的假设下，该结果恢复并推广了维内鲁齐的权重 2 结果。