[论文解读] Rankin-Selberg Euler systems and p-adic interpolation

Guido Kings, David Loeffler+1 more|arXiv (Cornell University)|May 13, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 22被引用 9

一句话总结

本文从权≥2的模形式的Rankin--Selberg L-函数构造Motivic上同调类，证明其在p进数域上的解析变体，并将其p进数调节器像与特殊L-值联系起来。本文证明了Perrin-Riou猜想的新情形，建立了椭圆曲线的二面体扭曲下Tate--Shafarevich群的有限性，并验证了虚二次域上模形式的Iwasawa主猜想的一个包含关系。

ABSTRACT

We construct motivic cohomology classes attached to Rankin--Selberg convolutions of modular forms of weights $\ge 2$, show that these vary analytically in p-adic families, and relate their image under the p-adic regulator map to values of L-functions. As consequences, we prove new cases of Perrin-Riou's conjecture on motivic L-values; we prove finiteness results for Tate--Shafarevich groups for twists of elliptic curves by dihedral Artin characters; and we prove one inclusion in the Iwasawa main conjecture for a single modular form over an imaginary quadratic field.

研究动机与目标

• 从权≥2的模形式的Rankin--Selberg L-函数构造Motivic上同调类。
• 在族中建立这些类的p进数解析变体。
• 将这些类的p进数调节器与L-函数的特殊值联系起来。
• 证明Perrin-Riou关于Motivic L-值猜想的新情形。
• 建立椭圆曲线经由二面体Artin特征扭曲后Tate--Shafarevich群的有限性结果。

提出的方法

• 通过权≥2的模形式的Rankin--Selberg卷积构造Motivic上同调类。
• 使用p进数插值技术，证明这些类在p进数族中解析变化。
• 应用p进数调节器映射，将这些类与L-函数的特殊值联系起来。
• 采用Euler系统方法，从这些上同调类的p进数族推导算术后果。
• 应用p进数L-函数与Iwasawa理论，推导Tate--Shafarevich群的有限性。
• 利用伽罗瓦表示的结构与Euler系统论证，证明Iwasawa主猜想的一个包含关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 与Rankin--Selberg L-函数相关的Motivic上同调类在p进数族中如何变化？
• RQ2 这些类的p进数调节器与L-函数的特殊值之间的确切关系是什么？
• RQ3 所构造的Euler系统能否用于证明Perrin-Riou关于Motivic L-值猜想的新情形？
• RQ4 这些构造是否导致椭圆曲线经由二面体特征扭曲后Tate--Shafarevich群的有限性结果？
• RQ5 Euler系统构造是否蕴含了虚二次域上模形式的Iwasawa主猜想的一个包含关系？

主要发现

• 本文通过将Euler系统的p进数调节器像与特殊L-值联系起来，证明了Perrin-Riou关于Motivic L-值猜想的新情形。
• 利用所构造的Euler系统，本文建立了椭圆曲线经由二面体Artin特征扭曲后Tate--Shafarevich群的有限性。
• 通过Euler系统方法，本文证明了单个模形式在虚二次域上Iwasawa主猜想的一个包含关系。
• 证明了Motivic上同调类在p进数族中解析变化，确认了其p进数插值性质。
• 所构造类的p进数调节器与L-函数的临界值相关联，为Euler系统提供了算术意义。
• 结果将p进数L-函数与Euler系统的框架拓展至高权模形式及非典型情形。