[论文解读] On the long time behaviour of the Conical Kähler- Ricci flows

Xiuxiong Chen, Yuanqi Wang|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 41被引用 23

一句话总结

该论文建立了在具有光滑除子和锥型奇点的凯勒流形上，锥型凯勒-里奇流的长时间存在性及指数收敛性。通过凯勒-里奇平坦度量在锥型奇点下的Liouville型定理以及加权 Hölder 空间中的精确估计，作者证明了当扭曲的第一陈类非正时，流以指数速度收敛到具有锥型奇点的凯勒-爱因斯坦度量。

ABSTRACT

We prove that the conical Kähler-Ricci flows introduced in \cite{CYW} exist for all time $t\in [0,+\infty)$. These immortal flows possess maximal regularity in the conical category. As an application, we show if the twisted first Chern class $C_{1,β}$ is negative or zero, the corresponding conical Kähler-Ricci flows converge to Kähler-Einstein metrics with conical singularities exponentially fast. To establish these results, one of our key steps is to prove a Liouville type theorem for Kähler-Ricci flat metrics (which are defined over $\mathbb{C}^{n}$) with conical singularities.

研究动机与目标

• 建立在具有光滑除子和锥角 β ∈ (0,1) 的凯勒流形上锥型凯勒-里奇流的长时间存在性。
• 证明当扭曲的第一陈类 C₁,β 非正时，流以指数速度收敛到锥型凯勒-爱因斯坦度量。
• 通过证明尖锐的 C²,α,β 估计并发展锥型情形下的自举技术，建立锥型流的最大正则性理论。
• 建立在 ℂⁿ 上具有锥型奇点的凯勒-里奇平坦度量的Liouville型定理，该定理是收敛性证明的核心。
• 尽管奇点带来了挑战，仍将光滑凯勒-里奇流的结果推广到锥型情形。

提出的方法

• 将锥型凯勒-里奇流约化为具有锥型奇点的标量抛物型蒙日-安培方程。
• 应用加权 C⁰-估计和 C¹,¹-估计以控制势函数及其时间导数。
• 通过在次调和函数 log u̅ 上使用Moser迭代方法，证明二阶导数的Hölder估计。
• 通过在欧氏坐标系中使用 W¹,²-型估计建立反向Hölder不等式，将锥型度量变换为模型度量。
• 利用John-Nirenberg不等式控制 log u̅ 的振荡性并导出一致的下界。
• 利用在 ℂⁿ 上具有锥型奇点的凯勒-里奇平坦度量的Liouville型定理，排除非平凡有界次调和函数的存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 当初始度量为 (α, β)-锥型凯勒度量时，锥型凯勒-里奇流是否在所有时间 t ∈ [0, ∞) 内存在？
• RQ2 在何种条件下锥型凯勒-里奇流收敛到锥型凯勒-爱因斯坦度量？收敛速率如何？
• RQ3 是否可在 ℂⁿ 上对具有锥型奇点的凯勒-里奇平坦度量建立Liouville型定理？
• RQ4 流的正则性如何随时间改善？在锥型情形下可达到的最大正则性类是什么？
• RQ5 在收敛性和能量单调性方面，光滑凯勒-里奇流的结果在多大程度上可推广到锥型情形？

主要发现

• 当初始度量为 (α′, β)-锥型凯勒度量且 α′ ∈ (0, min{1/β − 1, 1}) 时，锥型凯勒-里奇流在所有时间 t ∈ [0, ∞) 内存在。
• 对所有 t > 0，演化度量 g(t) 均为 (α, β)-锥型凯勒度量，其中任意 α < min{1/β − 1, 1}，从而确立了最大正则性。
• 在任意紧致时间区间 [0, N] 上，流构成一个 C^{α, α/2, β}-类的锥型度量族，确认了空间与时间上的Hölder正则性。
• 当 C₁,β < 0 或 C₁,β = 0 时，流在 C^{α,β}_{1,1} 拓扑下以指数速度收敛到锥型凯勒-爱因斯坦度量。
• 指数收敛性通过K-能量的单调性建立，而非通过Li-Yau哈纳克估计，后者在锥型情形下尚不成立。
• 作为推论，证明了对对数卡宾-亚几何对 (X, ∑(1−βᵢ)Dᵢ) 满足 C₁(X) − ∑(1−βᵢ)C₁(Dᵢ) = 0 时，锥型凯勒-爱因斯坦度量的存在性。