[论文解读] On the first sign change of $ heta(x) - x$

David J. Platt, Tim Trudgian|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2014

Analytic Number Theory Research参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文证明了在所有 x < 1.39 × 10^17 时 θ(x) < x，优于以往的界限，并利用显式公式、黎曼 zeta 函数非平凡零点以及带有高斯核的数值积分，证明了存在某个 x < exp(727.951332668) 使得 θ(x) > x。结果确认 θ(x) − x 的首次符号变化发生在 exp(727.951332668) 以下，且存在超过 10^152 个连续整数满足 θ(x) > x。

ABSTRACT

Let $\ heta(x) = \\sum_{p\\leq x} \\log p$. We show that $\ heta(x)&lt;x$ for $2&lt;x&lt; 1.39\\cdot 10^{17}$. We also show that there is an $x&lt;\\exp(727.951332668)$ for which $\ heta(x) &gt;x.$

研究动机与目标

• 确定 θ(x) − x 的首次符号变化位置，其中 θ(x) = ∑_{p≤x} log p。
• 在先前估计的基础上，改进 θ(x) > x 首次成立的 x 的上界。
• 在 Schoenfeld 和 Dusart 的工作基础上，扩展 θ(x) < x 成立的范围。
• 为 θ(x) < x 提供一个有效且经过计算验证的上界，范围达 1.39 × 10^17。

提出的方法

• 使用 ψ(x) 的显式公式，并通过 ψ(x) = θ(x) + θ(x^{1/2}) + θ(x^{1/3}) + ⋯ 将其与 θ(x) 关联。
• 应用高斯核 K(u−ω) 对 θ(e^u)−e^u 的积分进行平滑处理，以估计符号变化。
• 采用数值积分和对非平凡 zeta 零点 ρ = 1/2 + iγ 在高度 T ≈ 5000 以内的求和，并附带误差界。
• 使用双精度区间算术和并行化素数筛法，在 1.39×10^17 范围内对 10,390 个区间高效计算 θ(x)。
• 利用已知的 ψ(x)−x 估计和 θ(x)−x 误差项的尾部界限，进一步精炼 θ(x) > x 成立的区间。
• 通过 Oliveira e Silva 的 π(x) 表进行了独立验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 θ(x) < x 成立至 1.39×10^17 的前提下，满足 θ(x) > x 的最小 x 是多少？
• RQ2 θ(x)−x 的首次符号变化是否可有效界定在 exp(727.951332668) 以下？
• RQ3 在首次符号变化发生的区间内，有多少个连续整数满足 θ(x) > x？
• RQ4 在已知 ψ(x)−x 和 ζ(s) 零点边界的前提下，θ(x)−x 的误差项在多大程度上可被控制？
• RQ5 是否可以设计一种并行化、数值稳定的算法，在极大范围内准确计算 θ(x)？

主要发现

• 在所有 x < 1.39 × 10^17 时，θ(x) < x，该范围扩展了此前从 8×10^11 得到的界限。
• 存在某个 x < exp(727.951332668)，使得 θ(x) > x，从而确立了首次符号变化。
• 区间 [exp(727.951332642), exp(727.951332668)] 内至少包含 10^152 个连续整数满足 θ(x) > x。
• 在 ω = 727.951332655 时，∑_{|γ|≤T} e^{iωγ}/ρ exp(−γ²/(2α)) 的值位于 [−1.0013360278, −1.0013360277] 之间，确认了符号变化。
• 误差项 R₁ + R₂ + R₃ + R₄ < 1.7×10⁻⁹，确保了积分的正性，从而证实了 θ(x) > x 的存在。
• 计算共消耗 78,000 个节点小时，在 16 核集群上完成，共划分为 10,390 个区间，并使用区间算术确保数值可靠性。