[论文解读] On the geometry of the Hilbert schemes of points in the projective plane

Weiping Li, Zhenbo Qin+1 more|ArXiv.org|May 25, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用 5

一句话总结

本文研究了射影平面上 n 个点的 Hilbert 算子的几何结构，确定了其 nef 锥与有效锥，刻画了最小次数的有理曲线，并证明当 n ≥ 4 时，小收缩态射 φ₁ 存在翻转。关键贡献在于对同调于特定极值射线的曲线给出了完整描述，并构造了该态射 φ₁ 的翻转，该态射收缩由 βₗ − (n−1)βₙ 张成的射线。

ABSTRACT

We classify minimal-degree curves in the Hilbert schemes of points on algebraic surfaces. When the algebraic surface is the projective plane, the nef cone and a flip structure of these Hilbert schemes are determined.

研究动机与目标

• 确定当 X = ℙ² 时，Hilbert 算子 X^{[n]} 的有效锥与 nef 锥。
• 刻画关于非常 ample 线丛的度-1 的 X^{[n]} 中所有有理曲线。
• 研究由 βₗ − (n−1)βₙ 张成的极值射线的收缩。
• 证明当 n ≥ 4 时，态射 φ₁ 的翻转存在。
• 在 X^{[n]} 中的曲线与 Grassmannian 及射影丛上全族的纤维之间建立几何对应关系。

提出的方法

• 证明 X^{[n]} 的有效锥由曲线 βₙ 和 βₗ − (n−1)βₙ 张成。
• 构造一个非常 ample 除子 (nDₗ − Bₙ/2)，并证明关于该除子的度-1 曲线同调于 βₙ 或 βₗ − (n−1)βₙ。
• 同调于 βₙ 的曲线被刻画为 f_{n+1} 在投影丛 ψ_{n+1} : X^{[n,n+1]} → ℤ_{n+1} 的纤维中直线的像。
• 同调于 βₗ − (n−1)βₙ 的曲线被证明是 ℙ² 中直线 C ⊂ ℙ² 上的 n 个点的 Hilbert 算子 Hilbⁿ(C) 中的直线。
• 通过 k-very ampleness 定义态射 φ₁ : X^{[n]} → Grass(H⁰(𝒪_X(n−1), n))，并证明其收缩极值射线 R = ℝ⁺·(βₗ − (n−1)βₙ)。
• 通过在例外支集上进行爆破，构造一个奇点的局部小解析解，并利用除子类群计算与无基点线性系统验证翻转的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 X = ℙ² 时，Hilbert 算子 X^{[n]} 的有效锥与 nef 锥的结构是什么？
• RQ2 哪些 X^{[n]} 中的有理曲线关于非常 ample 线丛具有最小次数？
• RQ3 同调于 βₙ 的曲线如何通过全族几何地刻画？
• RQ4 同调于 βₗ − (n−1)βₙ 的曲线如何描述为 ℙ² 中直线上的点的 Hilbert 算子中的直线？
• RQ5 当 n ≥ 4 时，小收缩 φ₁ : X^{[n]} → φ₁(X^{[n]}) 是否存在翻转？

主要发现

• X^{[n]} 的有效锥由 βₙ 和 βₗ − (n−1)βₙ 张成。
• 非常 ample 除子 (nDₗ − Bₙ/2) 诱导一个度-1 嵌入，且所有度-1 曲线同调于 βₙ 或 βₗ − (n−1)βₙ。
• 同调于 βₙ 的曲线恰好是 f_{n+1}(C)，其中 C 是 ψ_{n+1} : X^{[n,n+1]} → ℤ_{n+1} 的纤维中的一条直线，且这些曲线由其像与基点唯一确定。
• 同调于 βₗ − (n−1)βₙ 的曲线恰好是 ℙ² 中直线 C ⊂ ℙ² 上的 Hilbert 算子 Hilbⁿ(C) ⊂ X^{[n]} 中的直线，且每条此类曲线唯一确定一条直线 C。
• 态射 φ₁ 是极值射线 ℝ⁺·(βₗ − (n−1)βₙ) 的收缩，且当 n ≥ 4 时，其为小收缩并存在翻转。
• φ₁ 的翻转存在，并通过包含爆破与同构的交换图构造，该翻转满足 KMM 的翻转猜想。