[论文解读] On the ground state of a free massless (pseudo)scalar field in two dimensions

M. Faber, A. N. Ivanov|ArXiv.org|Dec 18, 2002

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文表明，在1+1维中，自由无质量（伪）标量场的基态是基准真空与描述集体零模的BCS型波函数的张量积，该零模对应于质心运动。BCS波函数破坏了连续平移对称性（1.2），导致自发对称性破缺和非零费米子凝聚，与无质量Thirring模型的轴向对称性破缺相一致。

ABSTRACT

We investigate the ground state of a free massless (pseudo)scalar field in 1+1-dimensional space-time. We argue that in the quantum field theory of a free massless (pseudo)scalar field without infrared divergences (Eur. Phys. J. C24, 653 (2002)) the ground state can be represented by a tensor product of wave functions of the fiducial vacuum and of the collective zero-mode, describing the motion of the ``center of mass'' of a free massless (pseudo)scalar field. We show that the bosonized version of the BCS wave function of the ground state of the massless Thirring model obtained in (Phys.Lett. B563, 231 (2003)) describes the ground state of the free massless (pseudo)scalar field.

研究动机与目标

• 澄清1+1维自由无质量（伪）标量场基态的结构。
• 解决1+1维量子场论中自发对称性破缺与Coleman定理之间的明显矛盾。
• 建立无质量Thirring模型中的BCS波函数与自由无质量（伪）标量场基态之间的联系。
• 表明生成泛函中的红外发散源于集体零模，并可通过对外部源的约束予以消除。
• 证明BCS型波函数描述的是刚性转子模式，对应于场的质心运动。

提出的方法

• 将基态表示为基准真空 |Ψ₀⟩ 与集体零模的BCS型波函数的张量积。
• 利用场平移对称性（1.2）：ϑ(x) → ϑ(x) + α，其中 α ∈ ℝ，将零模定义为具有正则对易关系 [Q, ϑ] = i 的刚性转子。
• 应用生成泛函 Z[J] = ⟨Ψ₀|T[exp(i∫ϑJ)]|Ψ₀⟩，并通过约束 ∫d²x J(x) = ˜J(0) = 0 来消除红外发散。
• 证明BCS波函数 |Ω(α)⟩ = exp(−iαQ(0))|Ψ₀⟩ 对于不同的 α 是正交的，并且在平移对称性下变换为 |Ω(α′)⟩ = exp(−iα′Q)|Ω(α)⟩。
• 将BCS波函数与无质量Thirring模型基态的玻色化版本联系起来，确认其在描述轴向对称性破缺相中的作用。
• 利用Wightman公理和S₀(ℝ²)类函数定义可观测量，通过将零模排除在物理可观测量之外，确保与Coleman定理的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Wightman框架下，由于不存在非平凡真空，如何一致地定义1+1维自由无质量（伪）标量场基态？
• RQ2 无质量Thirring模型中的BCS型波函数是否对应于自由无质量（伪）标量场的物理基态？
• RQ3 生成泛函 Z[J] 中的红外发散是如何产生的？是否可以在不破坏物理一致性的情况下将其消除？
• RQ4 在1+1维中，连续平移对称性（1.2）的自发破缺是否与Coleman定理相容？
• RQ5 集体零模的物理意义是什么？它与场的质心运动有何关联？

主要发现

• 自由无质量（伪）标量场的基态是基准真空 |Ψ₀⟩ 与描述集体零模的BCS型波函数 |Ω(α)⟩ 的张量积。
• BCS波函数 |Ω(α)⟩ 破坏了连续平移对称性（1.2），导致非零的自发磁化 〈cos(βϑ_v)|Ψ₀⟩〉 = 1。
• 当 ˜J(0) ≠ 0 时，生成泛函 Z[J] 显示出红外发散，这可解释为刚性转子在微小扰动下获得无限角度。
• 通过约束 ˜J(0) = 0 消除这些发散，确保理论在 S₀(ℝ²) 上测试函数的意义下是良定义的。
• BCS波函数在平移对称性（1.2）下不保持不变，证实了对称性的自发破缺，以及无质量Thirring模型中轴向对称性破缺相的存在。
• 场平移下的变分 δϑ(x) = α 非零（即 δϑ(x) = α），这并不违反Coleman定理，因为可观测量定义在 S₀(ℝ²) 上，而非 S(ℝ²) 上。