[论文解读] On the Group and Color Isomorphism Problems.

François Le Gall, David J. Rosenbaum|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 25被引用 3

一句话总结

本文建立了群同构与一种受限色彩同构问题之间的紧密联系，其中排除了交错群的复合因子。研究表明，群同构可在 n^(O(log log n)) 时间内归约到该色彩同构问题，并指出射影特殊线性群是实现更快算法的主要障碍，其角色类似于图同构中交错群所起的作用。

ABSTRACT

In this paper, we prove results on the relationship between the complexity of the group and color isomorphism problems. The difficulty of color isomorphism problems is known to be closely linked to the the composition factors of the permutation group involved. Previous works are primarily concerned with applying color isomorphism to bou nded degree graph isomorphism, and have therefore focused on the alternating composit ion factors, since those are the bottleneck in the case of graph isomorphism. We consider the color isomorphism problem with composition factors restricted to those other than the alternating group, show that group isomorphism reduces in n^(O(log log n)) time to this problem, and, conversely, that a special case of this color isomorphism problem reduces to a slight generalization of group isomorphism. We then sharpen our results by identifying the projective special linear group as the main obstacle to faster algorithms for group isomorphism and prove that the aforementioned reduc tion from group isomorphism to color isomorphism in fact produces only cyclic and projective special linear factors. Our results demonstrate that, just as the alternatin g group was a barrier to faster algorithms for graph isomorphism for three decades, the projective special linear group is an obstacle to faster algorithms for group isomorphism.

研究动机与目标

• 理解群同构与色彩同构问题之间的复杂度关系。
• 识别阻碍群同构更快算法的复合因子。
• 证明群同构可归约到排除交错群复合因子的色彩同构问题。
• 展示射影特殊线性群在此归约过程中的核心障碍作用。

提出的方法

• 将群同构归约到仅包含非交错群复合因子的受限色彩同构问题。
• 分析涉及的置换群结构，重点关注交错群之外的复合因子。
• 识别射影特殊线性群为归约过程中的主导因素。
• 证明归约仅产生循环群与射影特殊线性群因子。
• 运用群论技术分析同构问题的复杂度。
• 建立受限色彩同构问题的一个特例与广义群同构问题之间的双向归约。

实验结果

研究问题

• RQ1 当排除交错群复合因子时，群同构与色彩同构之间的复杂度关系是什么？
• RQ2 为何射影特殊线性群在群同构算法中成为瓶颈？
• RQ3 群同构能否在亚指数时间内归约到受限色彩同构问题？
• RQ4 此类归约中出现的置换群具有何种结构特性？
• RQ5 群同构的结果与交错群在图同构中历史角色相比如何？

主要发现

• 当排除交错群复合因子时，群同构可在 n^(O(log log n)) 时间内归约到受限色彩同构问题。
• 归约仅产生循环群与射影特殊线性群因子，从而将后者识别为主要障碍。
• 受限色彩同构问题的一个特例可归约到广义群同构问题。
• 射影特殊线性群在群同构中的作用类似于图同构中交错群的作用，构成加快算法速度的障碍。
• 研究结果在受限复合因子下建立了群同构与色彩同构之间紧密的结构性与复杂度联系。
• 研究结果表明，群同构算法的进展取决于能否克服射影特殊线性群带来的挑战。