[论文解读] On the homotopy type of the spaces of spherical knots in $R^n$

Victor Turchin, Thomas Willwacher|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文建立了 ℝⁿ 中球面扭结空间与从 (n−m−1) 维球面到长扭结空间分类空间的映射的同伦纤维之间的同伦等价，揭示了球面扭结空间的有理同伦型由编码长扭结空间的毛发图复形决定。关键结果表明，当余维数 ≥3 时，球面扭结空间是球面上的主丛，其结构群由长扭结空间给出。

ABSTRACT

We study the spaces of embeddings $S^m\hookrightarrow R^n$ and those of long embeddings $R^m\hookrightarrow R^n$, i.e. embeddings of a fixed behavior outside a compact set. More precisely we look at the homotopy fiber of the inclusion of these spaces to the spaces of immersions. We find a natural fiber sequence relating these spaces. We also compare the $L_\infty$-algebras of diagrams that encode their rational homotopy type, when the codimension $n-m\geq 3$.

研究动机与目标

• 理解 ℝⁿ 中球面扭结空间的有理同伦型。
• 通过纤维序列将球面扭结空间的同伦型与长扭结空间的同伦型联系起来。
• 建立球面扭结空间与以长扭结空间为结构群、底空间为球面的纤维丛之间的同伦等价。
• 通过与长扭结空间相同的毛发图复形表达球面扭结空间的有理同伦型。
• 利用同伦论与操作代数技术，将关于长扭结空间的已知结果推广至球面扭结。

提出的方法

• 利用嵌入空间到浸入空间包含映射的同伦纤维，定义感兴趣的空间：$\overline{\operatorname{Emb}}(S^m, \mathbb{R}^n)$ 和 $\overline{\operatorname{Emb}}_\partial(\mathbb{R}^m, \mathbb{R}^n)$。
• 通过在球面上某一点附近进行扰动，构造 $\overline{\operatorname{Emb}}_\partial(\mathbb{R}^m, \mathbb{R}^n)$ 对 $\overline{\operatorname{Emb}}(S^m, \mathbb{R}^n)$ 的自然作用。
• 证明 $\overline{\operatorname{Emb}}(S^m, \mathbb{R}^n)$ 沿此作用的同伦商与 $S^{n-m-1}$ 同伦等价，从而导出定理 1.1 中的纤维序列。
• 使用有理同伦论与 $L_\infty$-代数比较两个空间的有理同伦型。
• 利用毛发图复形 $\mathrm{HGC}_{\bar{A}_{m},n}$ 计算 $\overline{\operatorname{Emb}}_\partial(\mathbb{R}^m, \mathbb{R}^n)$ 的有理同伦群，并通过主要等价性将其推广至球面扭结。
• 应用广义 Goldman-Millson 定理，证明相关 $L_\infty$-代数的 Maurer-Cartan 空间等价，从而推出有理同伦型的同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 ℝⁿ 中球面扭结空间的有理同伦型与长扭结空间的有理同伦型之间有何关系？
• RQ2 嵌入空间包含映射 $\operatorname{Emb}(S^m, \mathbb{R}^n) \to \operatorname{Imm}(S^m, \mathbb{R}^n)$ 的同伦纤维能否以球面为底空间的纤维丛形式描述？
• RQ3 长扭结空间 $\overline{\operatorname{Emb}}_\partial(\mathbb{R}^m, \mathbb{R}^n)$ 在控制球面扭结空间同伦型方面起什么作用？
• RQ4 当余维数 $n-m=2$ 时，尽管存在无限多张图，球面扭结空间的有理同伦型是否仍能通过图复形表达？
• RQ5 毛发图复形的 $L_\infty$-代数结构如何与球面扭结空间的有理同伦型相关联？

主要发现

• 空间 $\overline{\operatorname{Emb}}(S^m, \mathbb{R}^n)$ 同伦等价于映射 $S^{n-m-1} \to B\overline{\operatorname{Emb}}_\partial(\mathbb{R}^m, \mathbb{R}^n)$ 的同伦纤维，从而确立了主丛结构。
• 所有 $\overline{\operatorname{Emb}}(S^m, \mathbb{R}^n)$ 的连通分支具有相同的有理同伦型，且其 $\pi_0$ 与长扭结空间一致。
• 当 $n-m \geq 3$ 时，$\overline{\operatorname{Emb}}(S^m, \mathbb{R}^n)^\mathbb{Q}$ 的有理同伦型等价于 $\mathsf{MC}_\bullet(\mathrm{HGC}_{A_{m},n})$，后者通过毛发图复形计算有理同伦群。
• 在余维数 $n-m=2$ 时，有理同伦型仍可通过完备化 $L_\infty$-代数表达，且对 $n=3,5,9$ 有 $T_\infty\overline{\operatorname{Emb}}(S^m, \mathbb{R}^n)^\mathbb{Q} \simeq K(\mathbb{Q},1) \times T_\infty\overline{\operatorname{Emb}}_\partial(\mathbb{R}^{n-2}, \mathbb{R}^n)^\mathbb{Q}$，这是由于存在一个一维 $L_\infty$-子代数。
• 在 $n-m \geq 3$ 或 $n=m+2=3,5,9$ 的范围内，$\overline{\operatorname{Emb}}(S^m, \mathbb{R}^n)^\mathbb{Q}$ 与 $\overline{\operatorname{Emb}}_\partial(\mathbb{R}^m, \mathbb{R}^n)^\mathbb{Q}$ 的有理同伦型同构，通过等价关系 $\mathsf{MC}_\bullet(U^t \oplus \mathrm{HGC}_{\bar{A}_{m},n}) \simeq \mathsf{MC}_\bullet(\mathrm{HGC}_{A_{m},n})$ 实现。