[论文解读] On the rational homotopy type of embedding spaces of manifolds in $R^n$

Benoît Fresse, Victor Turchin+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 28被引用 4

一句话总结

该论文通过构建一个显式的图式 $L_∞$-代数来计算嵌入空间在 ℝⁿ 中的有理同伦型，其中嵌入的余维数满足 n ≥ m+2，该图式 $L_∞$-代数可计算包含映射 Emb(L,ℝⁿ) → Imm(L,ℝⁿ) 的同伦纤维的有理同伦群。关键结果是，连通分支的有理同伦型由与流形上同调相关的毛发图复形控制，该结果将先前的结果推广至更低余维数，并证实了关于弦链空间的一个猜想。

ABSTRACT

We study the spaces of embeddings of manifolds in a Euclidean space. More precisely we look at the homotopy fiber of the inclusion of these spaces to the spaces of immersions. As a main result we express the rational homotopy type of connected components of those embedding spaces through combinatorially defined $L_\infty$-algebras of diagrams.

研究动机与目标

• 确定流形 L 在 ℝⁿ 中的嵌入空间的有理同伦型，特别是平凡嵌入处的同伦纤维。
• 将先前关于嵌入空间有理同伦群的研究结果从余维数 ≥ 2m+1 推广至更广范围的 n ≥ m+2。
• 证实 [STT] 中的猜想：在余维数 ≥ max(mᵢ)+3 时，模浸入的弦链空间的有理同伦群由毛发图复形计算。
• 通过图式 $L_\infty$-代数提供一个系统性框架，以描述嵌入空间的有理同伦型。
• 将有理同伦群与图复形中的 Mauer–Cartan 元素联系起来，并为连通分支构造 Sullivan 模型。

提出的方法

• 作者通过流形的上同调的同伦交换结构，构建了一个图式 $L_\infty$-代数 $\mathrm{HGC}_{\bar{H}^*(M_*),n}$，用以建模嵌入空间的有理同伦型。
• 以包含映射 Emb(L,ℝⁿ) → Imm(L,ℝⁿ) 的同伦纤维为核心对象，该对象分类了作为浸入平凡的嵌入。
• 该构造依赖于将流形 L 替换为其开管状邻域 $N(L)$ 或 $N_\infty(L)$（用于无界分支），以保持弱同伦型不变。
• 通过在 Mauer–Cartan 元素 m 作用下的扭曲 $L_\infty$-代数 $\mathrm{HGC}_{\bar{H}^*(M_*),n}^m$ 的 Chevalley–Eilenberg 上同调来计算有理同伦群。
• 利用扭曲 $L_\infty$-代数的正度数截断的上同调 Chevalley–Eilenberg 复形，为连通分支构造 Sullivan 模型。
• 该方法可推广至非紧流形，通过使用 $N_\infty(L)$，且结果与 ℝ⁶ 中 3-流形的已知分类结果相容。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何描述在余维数 n ≥ m+2 时，流形在 ℝⁿ 中的嵌入空间的有理同伦型？
• RQ2 是否可以证明猜想：在余维数 ≥ max(mᵢ)+3 时，毛发图复形计算模浸入的弦链空间的有理同伦群？
• RQ3 图式 $L_\infty$-代数在编码嵌入空间的有理同伦群中起什么作用？
• RQ4 图复形中的 Mauer–Cartan 元素如何与嵌入的同痕类相关联？
• RQ5 是否可以使用图式 $L_\infty$-代数为嵌入空间的连通分支构造 Sullivan 模型？

主要发现

• 同伦纤维 $\overline{\mathrm{Emb}}(L,\mathbb{R}^n)$ 的有理同伦型由图式 $L_\infty$-代数 $\mathrm{HGC}_{\bar{H}^*(M_*),n}$ 计算，该代数由流形的上同调与余维数 n 构造而成。
• 证实了 [STT] 中的猜想：在余维数 ≥ max(mᵢ)+3 时，$\overline{\mathrm{Emb}}_\partial(\coprod \mathbb{R}^{m_i}, \mathbb{R}^n)$ 的有理同伦群由毛发图复形计算。
• 对于紧致流形，有理同伦群由相同的 $L_\infty$-代数计算，由于图的复杂性，高阶同伦运算不影响计算结果。
• 连通分支的有理同伦群同构于扭曲 $L_\infty$-代数的正度数截断的 Chevalley–Eilenberg 上同调。
• 连通分支的 Sullivan 模型由扭曲 $L_\infty$-代数的上同调 Chevalley–Eilenberg 复形给出，为嵌入空间提供了完整的有理模型。
• 该框架可统一应用于有界与无界流形，其中 $N_\infty(L)$ 为无界情形提供了同伦等价模型。