[论文解读] On the hyperbolicity of base spaces for maximally variational families of smooth projective varieties

Ya Deng, Abramovich, with an appendix by Dan|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 60被引用 5

一句话总结

本文证明了具有半正则 canonical 线丛的光滑射影簇的极大变体族的基空间是伪 Kobayashi 双曲的，证实了 Viehweg-Zuo（2003）的猜想，并推广了关于 Brody 双曲性和 Kobayashi 双曲性的结果。通过使用 Viehweg-Zuo Higgs 线丛、Finsler 度量以及直接像的正性，本文在极小一般型簇的有效参数化族上建立了双曲性，推广至极小一般型簇的极小极化流形模空间。

ABSTRACT

For smooth families with maximal variation, whose general fibers have semi-ample canonical bundle, the generalized Viehweg hyperbolicity conjecture states that the base spaces of such families are of log general type. This deep conjecture was recently proved by Popa-Schnell using the theory of Hodge modules and a theorem by Campana-Păun. In this paper we prove that those base spaces are pseudo Kobayashi hyperbolic, as predicted by the Lang conjecture: any complex quasi-projective manifold is pseudo Kobayashi hyperbolic if it is of log general type. As a consequence, we prove the Brody hyperbolicity of moduli spaces of polarized manifolds with semi-ample canonical bundle. This proves a conjecture by Viehweg-Zuo in 2003. We also prove the Kobayashi hyperbolicity of base spaces of effectively parametrized families of minimal projective manifolds of general type. This generalizes previous work by To-Yeung, in which they further assumed that these families are canonically polarized.

研究动机与目标

• 解决 Viehweg 和 Zuo（2003）关于极小极化流形模空间的 Brody 双曲性的长期猜想。
• 建立具有半正则 canonical 线丛的光滑射影簇的极大变体族的基空间的伪 Kobayashi 双曲性，符合 Lang 猜想的预测。
• 将先前关于 Kobayashi 双曲性的结果推广至不依赖于典范极化的一般型极小射影流形的有效参数化族。
• 通过直接像的正性和 Hodge 理论工具，为模理论设定中的双曲性提供几何刻画。
• 利用 Finsler 度量和 Viehweg-Zuo Higgs 线丛构建框架，以分析具有奇点和对数结构的族中的双曲性。

提出的方法

• 利用 canonical 线丛直接像的正性和 Hodge 线丛的 Griffiths 曲率公式，在基空间上构造 Finsler 度量。
• 对具有半正则 canonical 线丛的族应用 Viehweg-Zuo Higgs 线丛构造，利用通用局部 Torelli 定理的存在性。
• 利用 $ Q$-温和约化和 Kollár 的 slc 族处理奇点，并确保基变换下 canonical 线丛的平坦性。
• 利用稳定映射模堆栈和 Alexeev 的紧化构造具有可控奇点的族的恰当紧化。
• 应用纯度引理和 Kawamata 覆盖工具包，以提升有限覆盖，确保在光滑基概形上存在合适的族。
• 结合 Hodge 线丛的曲率正性与 Viehweg-Zuo Higgs 线丛的结构，推导出非零曲率形式，从而推出双曲性。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有半正则 canonical 线丛的光滑射影簇的极大变体族的基空间是否为伪 Kobayashi 双曲的？
• RQ2 Viehweg 和 Zuo 在 2003 年提出的关于极小极化流形模空间的 Brody 双曲性猜想是否成立？
• RQ3 是否可以在不依赖于典范极化的情况下，为一般型极小射影流形的有效参数化族的基空间建立 Kobayashi 双曲性？
• RQ4 在存在对数结构和奇点的情况下，Viehweg-Zuo Higgs 线丛构造是否能产生足够正曲率以保证双曲性？
• RQ5 如何利用 $ Q$-温和约化和稳定映射模堆栈来确保双曲性证明中具有可控奇点的紧化存在？

主要发现

• 任何具有半正则 canonical 线丛的光滑射影簇的极大变体族的基空间 $V$ 均为伪 Kobayashi 双曲的，符合 Lang 猜想的预测。
• 若模映射在像上为拟有限，则极小极化流形模空间 $P_h$ 为 Brody 双曲的，从而证实了 Viehweg-Zuo 的猜想。
• 任何有效参数化的一般型极小射影流形族的基空间均为 Kobayashi 双曲的，推广了 To 和 Yeung 的早期结果，后者要求典范极化。
• 通过 Viehweg-Zuo Higgs 线丛与 Griffiths 曲率公式构造出基空间上具有正曲率的 Finsler 度量，从而推出伪 Kobayashi 双曲性。
• Viehweg-Zuo Higgs 线丛的通用局部 Torelli 定理的存在性确保了曲率形式非退化，从而支持双曲性结论。
• $\rQ$-温和约化技术允许构造具有 canonical 奇点的族的紧化，确保基变换下 canonical 线丛的平坦性与相容性。