[论文解读] On the Impossibility of General Parallel Fast-Forwarding of Hamiltonian Simulation

Chia, Nai-Hui, Chung, Kai-Min+4 more|arXiv (Cornell University)|May 25, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 99被引用 3

一句话总结

该论文通过引入基于Childs量子行走的新型并行量子行走框架，提出了一种用于模拟均匀结构哈密顿量（如局部哈密顿量、泡利算符和、分子哈密顿量）的并行量子算法。该算法在精度ϵ上实现了双对数依赖关系polylog log(1/ϵ)的门深度，相较于先前非并行最优算法的polylog(1/ϵ)量级，实现了指数级加速。

ABSTRACT

Hamiltonian simulation is one of the most important problems in the field of quantum computing. There have been extended efforts on designing algorithms for faster simulation, and the evolution time T for the simulation greatly affect algorithm runtime as expected. While there are some specific types of Hamiltonians that can be fast-forwarded, i.e., simulated within time o(T), for some large classes of Hamiltonians (e.g., all local/sparse Hamiltonians), existing simulation algorithms require running time at least linear in the evolution time T. On the other hand, while there exist lower bounds of Ω(T) circuit size for some large classes of Hamiltonian, these lower bounds do not rule out the possibilities of Hamiltonian simulation with large but "low-depth" circuits by running things in parallel. As a result, physical systems with system size scaling with T can potentially do a fast-forwarding simulation. Therefore, it is intriguing whether we can achieve fast Hamiltonian simulation with the power of parallelism. In this work, we give a negative result for the above open problem in various settings. In the oracle model, we prove that there are time-independent sparse Hamiltonians that cannot be simulated via an oracle circuit of depth o(T). In the plain model, relying on the random oracle heuristic, we show that there exist time-independent local Hamiltonians and time-dependent geometrically local Hamiltonians on n qubits that cannot be simulated via an oracle circuit of depth o(T/n^c), where the Hamiltonians act on n qubits, and c is a constant. Lastly, we generalize the above results and show that any simulators that are geometrically local Hamiltonians cannot do the simulation much faster than parallel quantum algorithms.

研究动机与目标

• 为解决量子模拟算法是否能被高效并行化以实现进一步加速这一开放问题。
• 识别出一类广泛存在的物理相关哈密顿量——均匀结构哈密顿量——其可实现高效的并行模拟。
• 开发一种新的并行量子行走框架，以实现在并行量子电路中对哈密顿量演化进行快速前向推进。
• 建立对精度ϵ的深度依赖关系的紧致下界，表明所实现的polylog log(1/ϵ)缩放接近最优。
• 展示该算法在主要物理模型中的实际适用性，包括海森堡模型、SYK模型以及二次量化量子化学哈密顿量。

提出的方法

• 通过将Childs的量子行走推广至允许多个行走步骤并行执行，提出一种新的并行量子行走概念。
• 通过截断泰勒级数近似时间演化幺正算符e^{-iHt}，其中每一项通过并行量子行走实现。
• 使用块编码技术高效实现哈密顿量预言机，并在并行环境中实现酉算符的线性组合（LCU）。
• 重新加权量子行走各分量的振幅，以确保对泰勒级数各项的精确近似。
• 构建一种并行LCU过程，通过受控旋转将量子行走分量组合，以实现完整的演化幺正算符。
• 通过显式计算预言机实现并展示总门深度缩放为polylog log(1/ϵ)，将该框架应用于三种物理模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子模拟算法能否被并行化，以在电路深度上实现指数级改进？
• RQ2 在电路深度方面，并行量子模拟对精度ϵ的根本限制是什么？
• RQ3 所提出的并行量子行走框架能否应用于如局部哈密顿量和泡利算符和哈密顿量等物理相关的哈密顿量？
• RQ4 当应用于二次量化分子哈密顿量时，该并行模拟方法在门复杂度方面是否仍保持高效？
• RQ5 能否证明该算法的深度缩放为最优？在并行设置下，精度依赖关系是否存在下界？

主要发现

• 所提出的并行量子模拟算法对均匀结构哈密顿量实现了O(polylog log(1/ϵ))的门深度，相较于先前最优的非并行算法（深度为O(polylog(1/ϵ))），实现了指数级改进。
• 该算法被应用于海森堡模型、萨赫德-叶-基塔耶夫（SYK）模型以及二次量化分子哈密顿量，三者均实现了polylog log(1/ϵ)的深度缩放。
• 对于二次量化形式的分子哈密顿量，总门深度为O(n^8 t log^3 n · log^3 log(t/ϵ))，大小为O(n^16 t log^5(nt/ϵ))，其对ϵ的深度依赖关系为polylog log(1/ϵ)。
• 建立了Ω(log log(1/ϵ))的下界，表明在并行设置下，对精度ϵ的polylog log(1/ϵ)依赖关系无法被显著改进。
• 分子哈密顿量的预言机可通过深度为O(log²n + log b)、大小为O(n^8 b^4)的量子电路实现，从而支持高效的并行访问。
• 本工作表明，并行性可在不牺牲门计数效率的前提下，为哈密顿量模拟带来电路深度的根本性加速，尤其在精度缩放方面。