[论文解读] On the integration of LA-groupoids and duality for Poisson groupoids

Luca Stefanini|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 19被引用 6

一句话总结

本文提出了一种函子性方法，将LA-群胚（Lie群胚内部的Lie代数胚）积分化为双Lie群胚，利用纤维积和Lie代数胚同伦的提升条件。关键结果是：当满足适当的提升条件时，具有可积上层Lie代数胚的LA-群胚可积分化为辛双Lie群胚，从而通过辛约化实现Poisson群胚之间的对偶性。

ABSTRACT

In this note a functorial approach to the integration problem of an LA-groupoid to a double Lie groupoid is discussed. To do that, we study the notions of fibred products in the categories of Lie groupoids and Lie algebroids, giving necessary and sufficient conditions for the existence of such. In particular, it turns out, that the fibred product of Lie algebroids along integrable morphisms is always integrable by a fibred product of Lie groupoids. We show that to every LA-groupoid with integrable top structure one can associate a differentiable graph in the category of Lie groupoids, which is an integrating double Lie groupoid, whenever some lifting conditions for suitable Lie algebroid homotopies are fulfilled; the result specializes to the case of a Poisson groupoid, yielding a symplectic double groupoid, provided our conditions on the associated LA-groupoid are satisfied.

研究动机与目标

• 开发LA-群胚积分化为双Lie群胚的函子性框架。
• 表征Lie群胚和Lie代数胚范畴中纤维积存在的必要与充分条件。
• 建立LA-群胚可积性与Poisson群胚情形下辛双Lie群胚存在的关联。
• 阐明Lie代数胚路径与同伦的提升条件在构造积分图上相容乘法中的作用。
• 通过LA-群胚积分化产生的辛双Lie群胚，探索Poisson群胚中的对偶性。

提出的方法

• 使用Lie代数胚和Lie群胚的纤维积，证明当态射可积时，Lie代数胚的纤维积总是可积的。
• 引入具有结构的可微图（即无乘法的Lie群胚），以建模LA-群胚的积分化。
• 应用Weinstein群胚构造来表征A-路径和A-同伦的可积性条件，通过单值群胚实现。
• 对Lie群胚的纤维积施加横截性条件，以确保其保留在Lie群胚范畴内。
• 通过Courant sigma模型相空间的辛约化，从Lie双代数胚构造辛双Lie群胚。
• 证明当第二和第三神经满足1-连通性时，积分图上的相容乘法得以产生，而这一条件由代数胚同伦的提升条件所保证。

实验结果

研究问题

• RQ1 当沿可积态射进行Lie代数胚的纤维积时，何时能产生可积的Lie群胚？
• RQ2 何时可将具有可积上层结构的LA-群胚积分化为双Lie群胚？
• RQ3 Lie代数胚路径与同伦的提升条件如何与积分双群胚中相容乘法的存在性相关联？
• RQ4 第二和第三神经的1-连通性在从Poisson群胚构造辛双Lie群胚中起什么作用？
• RQ5 能否通过Courant sigma模型的辛约化构造Poisson群胚的双倍？这与对偶性有何关联？

主要发现

• 沿可积态射的Lie代数胚的纤维积，总是通过Lie群胚的纤维积实现可积性。
• 当满足代数胚同伦的提升条件时，具有可积上层Lie代数胚的LA-群胚可积分化为Lie群胚范畴中的可逆单位可微图。
• 在第二和第三神经满足连通性假设的前提下，积分图获得相容的第二个乘法，从而成为双Lie群胚。
• 连通性假设由仅依赖于原始LA-群胚的代数胚路径与同伦的提升条件所蕴含。
• 对于Poisson群胚，该构造产生一个辛双Lie群胚，实现了Poisson群胚与其弱对偶之间的对偶性。
• 当源流形为正方形且边界条件适切选择时，辛双Lie群胚作为Courant sigma模型约化相空间中的Lagrangian子群胚出现。