[论文解读] On the length of perverse sheaves and D-modules

Nero Budur, Pietro Gatti+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文证明了在光滑复代数簇上， perverse 她aves 与正则整 holonomic D-模的长度函数是一个绝对 Q-可构造函数。关键结果表明，对于任意固定导出函子（在光滑簇的可构造复形或 perverse 她aves 之间），其像具有指定长度的秩一局部系统之集合，是定义在 Q 上的 Zariski 可构造子集，由有限个扭移平移的代数子环面通过有限次并、交与补集运算构成。

ABSTRACT

We prove that the length function for perverse sheaves and algebraic regular holonomic D-modules on a smooth complex algebraic variety Y is an absolute Q-constructible function. One consequence is: for "any" fixed natural (derived) functor F between constructible complexes or perverse sheaves on two smooth varieties X and Y, the loci of rank one local systems L on X whose image F(L) has prescribed length are Zariski constructible subsets defined over Q, obtained from finitely many torsion-translated complex affine algebraic subtori of the moduli of rank one local systems via a finite sequence of taking union, intersection, and complement.

研究动机与目标

• 证明在光滑复代数簇上， perverse 她aves 与正则整 holonomic D-模的长度函数为绝对 Q-可构造函数。
• 证明对于任意固定导出函子（在光滑簇的可构造复形或 perverse 她aves 之间），其像具有指定长度的秩一局部系统之集合是定义在 Q 上的 Zariski 可构造子集。
• 以扭移平移子环面的形式，提供长度跳跃点集在局部系统模空间中的几何与算术描述。
• 通过 Riemann-Hilbert 对应与 perverse 上同调函子，扩展对导出范畴中长度不变量的理解。
• 证明此类集合并非任意的，而具有精确的代数几何结构，且该结构定义在 Q 上，即使在高秩局部系统的情形下亦然。

提出的方法

• 利用 Riemann-Hilbert 对应，将 D-模与 perverse 她aves 关联，保持等价关系下的长度不变。
• 应用 perverse 上同调函子，通过 perverse 上同调 sheaf 长度的交错和，在导出范畴中定义长度。
• 采用绝对 Q-可构造集的理论，其定义为 Q 上扭移平移的复仿射代数子环面的有限组合（并、交、补集）。
• 通过在锥的支撑与维数上进行归纳，证明长度函数的 Q-可构造性。
• 通过涉及 skyscraper sheaf 的短正合列，分析中间扩张与局部系统（如 $Rj_*$, $Rf_*$）的直接像的结构。
• 在恰当情形下应用分解定理，将长度解释为像中半单直和项的个数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在光滑复代数簇上，perverse 她aves 与 D-模的长度函数是否为绝对 Q-可构造函数？
• RQ2 对于任意固定导出函子，其像具有指定长度的秩一局部系统之集合，能否被描述为定义在 Q 上的 Zariski 可构造子集？
• RQ3 在局部系统模空间中，长度跳跃点集的几何与算术结构为何？
• RQ4 在光滑簇间的代数映射下，交集复形的直接像的长度行为如何？
• RQ5 在高秩局部系统模空间中，长度集合在多大程度上继承 Q-可构造结构？

主要发现

• 在光滑复代数簇上，perverse 她aves 与正则整 holonomic D-模的长度函数是绝对 Q-可构造函数。
• 对任意代数映射 $f: X \to Y$ 及光滑子簇 $S \to X$，集合 $\big\{ L \to \text{M}_B(S,1) \mid \ell({}^pR^if_*(IC_{\overline{S}}(L))) = k \big\}$ 是绝对 Q-可构造子集。
• 在恰当情形下，$^pR^if_*(IC_{\overline{S}}(L))$ 的长度等于其半单直和项的个数，且此类集合是 Q-可构造的。
• 在 $\mathbb{C} \setminus \{a,b\}$ 上的秩 2 局部系统中，$Rj_*(L[1])$ 具有指定长度的集合是 $\mathbb{C}^3$ 中线性与二次子簇的并集，包括点如 $(2,2,2)$ 与直线如 $\{x=2, y=z\}$。
• 对于 $Rj_*(L[1])$，其长度跳跃点集在简单点集上为线性，且 $\ell(Rj_*(L[1])) \geq 6$ 仅在点 $(2,2,2)$ 处成立。
• 函数 $m \mapsto \ell(Rj_!(q(L)[n]) \otimes^L_R R/m)$ 是 Q-可构造的，该结论通过在分层三角形中锥的支撑维数上进行归纳而建立。