[论文解读] On the Newton stratification in the good reduction of Shimura varieties

Paul Hamacher|arXiv (Cornell University)|May 18, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用 5

一句话总结

该论文将Mantovan的几乎乘积结构以及Caraiani-Scholze的无限乘积结构推广至在 $p$ 处具有超特殊水平结构的霍奇型希米亚瓦，证明了牛顿层的完美化在pro-étale局部上同构于一个中心层与一个拉波普特-津克空间的乘积。关键结果建立了无限层级的伊古萨簇与无限层级的拉波普特-津克空间之间的同构，从而在完美oid层级下，希米亚瓦的通用纤维上诱导出乘积结构。

ABSTRACT

I construct a generalisation of Mantovan's almost product structure to Shimura varieties of Hodge type with hyperspecial level structure at $p$ and deduce that the perfection of the Newton strata are pro-étale locally isomorphic to the perfection of the product of a central leaf and a Rapoport-Zink space. The almost product formula can be extended to obtain an analogue of Caraiani's and Scholze's generalisation of the almost product structure for Shimura varieties of Hodge type.

研究动机与目标

• 将Mantovan在PEL型希米亚瓦上的几乎乘积结构推广至在 $p$ 处具有超特殊水平结构的霍奇型希米亚瓦。
• 将Caraiani与Scholze的无限层级乘积结构推广至霍奇型情形。
• 建立牛顿层的完美化与一个中心层和一个拉波普特-津克空间乘积之间的pro-étale局部同构。
• 在无限层级的伊古萨簇与无限层级的拉波普特-津克空间及一个中心层的乘积之间构造形式概形的全局同构。
• 通过adique通用纤维构造与perfectoid几何，推导出通用纤维上的乘积结构。

提出的方法

• 在中心层 $C$ 上构造一族相容的有限对有限对应关系的伊古萨簇塔 $\mathscr{J}_m^{(p^{-N})}$。
• 利用伊古萨簇的完美化 $\mathscr{J}_\infty^{(p^{-\infty})}$ 与无限层级的拉波普特-津克空间 $\mathfrak{M}_{G,\mu}(\mathbf{b})^{(p^{-\infty})}$，定义至牛顿层完美化 $\mathscr{S}_{G,0}^{\mathbf{b},(p^{-\infty})}$ 的对应关系。
• 证明态射 $\pi_\infty^{(p^{-\infty})}$ 是该巴尔萨蒂-泰特群的自拟同构群上的torsor。
• 证明态射 $r_\infty^{(p^{-\infty})}$ 是同一巴尔萨蒂-泰特群的自同构群上的torsor。
• 将 $\mathscr{J}_\infty^{(p^{-\infty})}$ 平坦提升至 $\operatorname{Spf}\breve{\mathbb{Z}}_p$ 得到 $\mathfrak{Ig}^\mathbf{b}$，并定义相应的拉波普特-津克空间 $\mathfrak{M}_{G,\mu}(\mathbf{b})$。
• 使用平展与幂零技巧，证明形式概形之间的自然态射 $\mathfrak{Ig}^\mathbf{b} \times \mathfrak{M}_{G,\mu}(\mathbf{b}) \to \mathfrak{X}^{\mathbf{b}}$ 是同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 Mantovan在PEL型希米亚瓦上的几乎乘积结构能否推广至在 $p$ 处具有超特殊水平结构的霍奇型希米亚瓦？
• RQ2 Caraiani与Scholze的无限层级乘积结构是否可推广至霍奇型情形？
• RQ3 在霍奇型希米亚瓦的良好约化中，牛顿层的完美化是否在pro-étale局部同构于一个中心层与一个拉波普特-津克空间的乘积？
• RQ4 在牛顿层上，对通用 $p$-除子群的平凡化模空间是否与伊古萨簇和拉波普特-津克空间具有全局乘积结构？
• RQ5 在perfectoid空间的术语下，牛顿层的通用纤维具有何种结构？

主要发现

• 牛顿层的完美化 $\mathscr{S}_{G,0}^{\mathbf{b},(p^{-\infty})}$ 在pro-étale局部同构于乘积 $C^{(p^{-\infty})} \times \mathscr{M}_{G,\mu}(\mathbf{b})^{(p^{-\infty})}$，其中 $C$ 为一中心层，$\mathscr{M}_{G,\mu}(\mathbf{b})$ 为一拉波普特-津克空间。
• 存在一个关于 $\operatorname{Spf}\breve{\mathbb{Z}}_p$ 的形式概形的典范同构 $\mathfrak{Ig}^\mathbf{b} \times \mathfrak{M}_{G,\mu}(\mathbf{b}) \stackrel{\sim}{\to} \mathfrak{X}^{\mathbf{b}}$，从而确立了全局乘积结构。
• 该同构的adique通用纤维诱导出同构 $Ig^\mathbf{b} \times M_{G,\mu,\infty}(\mathbf{b}) \stackrel{\sim}{\to} X_\infty^\mathbf{b}$，表明 $X_\infty^\mathbf{b}$ 是预perfectoid。
• 态射 $\pi_\infty^{(p^{-\infty})}$ 是通用 $p$-除子群（带有晶体Tate张量）的自拟同构群上的torsor。
• 态射 $r_\infty^{(p^{-\infty})（}$ 是同一 $p$-除子群的自同构群上的torsor。
• 该构造在底面约化子概形与限制形式邻域上诱导出同构，因此是平展的，从而在雅可布森概形上为同构。