[论文解读] Rapoport-Zink spaces of Hodge type

Wansu Kim|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 25被引用 11

一句话总结

本文为 $\mathbb{Q}_p$ 上的非分歧拟李群（$p > 2$）构造了霍奇型的拉波波尔特-津克空间，将其定义为参数化具有晶体塔恩张量和相容霍奇滤子的 $p$-可除群的形式概形。关键结果表明，该模空间在形式上光滑，并实现了非分歧霍奇型局部希米乌拉数据的局部希米乌拉簇，将此前仅限于 EL/PEL 情形的构造扩展至更一般情形。

ABSTRACT

When $p>2$, we construct a Hodge-type analogue of Rapoport-Zink spaces under the unramifiedness assumption, as formal schemes parametrising "deformations" (up to quasi-isogeny) of $p$-divisible groups with certain crystalline Tate tensors. We also define natural rigid analytic towers with expected extra structure, providing more examples of "local Shimura varieties" conjectured by Rapoport and Viehmann.

研究动机与目标

• 使用具有晶体塔恩张量的 $p$-可除群，构造霍奇型希米乌拉簇的 $p$-进局部类比。
• 定义 $p$-可除群（在拟同构意义下）的形变模空间，该模空间配备弗罗贝尼乌斯不变张量与相容霍奇滤子。
• 通过在通用纤维上构造刚性解析塔，实现非分歧霍奇型局部希米乌拉数据的猜想中‘局部希米乌拉簇’。
• 将拉波波尔特-津克构造扩展至 EL 与 PEL 类型之外，包括秩 $\geq 7$ 的自旋相似群等情形。
• 建立函子性与对辅助选择的独立性，包括通过例外同构。

提出的方法

• 利用晶体迪尤当内理论，将形式概形上的 $p$-可除群与弗罗贝尼乌斯不变张量的 $F$-晶体相关联。
• 通过属于共轭类 $\{\mu\}$ 的一个共轭特征标，对形变施加条件，以保持塔恩张量与霍奇滤子。
• 对由 $p$ 生成的幂零理想应用格罗滕迪克-梅西克形变理论，该理论在 $p > 2$ 时成立。
• 将模空间 $\mathtt{RZ}_{G,b}$ 构造为原始拉波波尔特-津克空间 $\mathtt{RZ}_{\mathbb{X}}$ 的闭形式子概形。
• 建立 $K_0 \otimes_{\sigma,\mathfrak{S}[1/p]} \mathfrak{M}$ 与 $D_{\mathrm{cris}}(V(X)^*)$ 之间的晶体比较同构，以关联 $p$-进霍奇结构与基辛模。
• 利用同构 $W \otimes_{\sigma,\mathfrak{S}} \mathfrak{M} \cong \mathbb{D}(Y)(W)$ 提升整结构，并证明塔恩张量的整性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为非分歧拟李群（超出 EL 与 PEL 类型）构造霍奇型拉波波尔特-津克空间？
• RQ2 如何定义并保持 $p$-可除群形变下的晶体塔恩张量？
• RQ3 此类 $p$-可除群的模空间在多大程度上独立于辅助选择（如 $p$-可除群 $\mathbb{X}$ 的选择）？
• RQ4 能否通过刚性解析塔实现非分歧霍奇型局部希米乌拉数据的猜想中‘局部希米乌拉簇’？
• RQ5 共轭特征标 $\mu$ 在模空间中控制 $p$-可除群的霍奇滤子方面起什么作用？

主要发现

• 模空间 $\mathtt{RZ}_{G,b}$ 在 $\widehat{\mathbb{Z}}_p^{\mathrm{ur}}$ 上形式光滑，且仅依赖于非分歧霍奇型局部希米乌拉数据 $(G,[b],\{\mu^{-1}\})$，而不依赖于 $\mathbb{X}$ 的选择。
• 当 $p > 2$ 时，该构造在 $\mathtt{RZ}_{G,b}$ 的通用纤维上产生一个刚性解析塔，实现了拉波波尔特与维赫曼所猜想的‘局部希米乌拉簇’。
• 空间 $\mathtt{RZ}_{G,b}$ 在 EL 与 PEL 情形下恢复了经典拉波波尔特-津克空间，如命题 4.7.1 所示。
• 该构造适用于 $\mathrm{GSp}(V)$ 与 $\mathrm{GSpin}(V)$（$\dim V \geq 7$）等群，这些群不属于 EL 或 PEL 类型。
• 通过晶体比较同构与基辛模包含中余核的 $p$-挠自由性，证明了塔恩张量的埃勒特实现的整性。
• 同构 $W \otimes_{\sigma,\mathfrak{S}} \mathfrak{M}(T(Y)^*) \cong \mathbb{D}(Y)(W)$ 在 $F$-晶体上诱导出霍奇滤子，证实其与晶体上同调的相容性。