[论文解读] On the orthogonal rank of Cayley graphs and impossibility of quantum round elimination

Jop Briët, Jeroen Zuiddam|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 11被引用 6

一句话总结

本文建立了在超立方体 {0,1}^n 上、边连接汉明距离至少为 n/2 的顶点的凯莱图的正交秩的指数下界。通过傅里叶分析与洛瓦兹θ函数，作者证明了对称正交嵌入无法实现次指数维数，从而解决了关于精确量子通信复杂性中量子回合消除不可能性的一个猜想。

ABSTRACT

After Bob sends Alice a bit, she responds with a lengthy reply. At the cost of a factor of two in the total communication, Alice could just as well have given the two possible replies without listening and have Bob select which applies to him. Motivated by a conjecture stating that this form of "round elimination" is impossible in exact quantum communication complexity, we study the orthogonal rank and a symmetric variant thereof for a certain family of Cayley graphs. The orthogonal rank of a graph is the smallest number $d$ for which one can label each vertex with a nonzero $d$-dimensional complex vector such that adjacent vertices receive orthogonal vectors. We show an exp$(n)$ lower bound on the orthogonal rank of the graph on $\{0,1\}^n$ in which two strings are adjacent if they have Hamming distance at least $n/2$. In combination with previous work, this implies an affirmative answer to the above conjecture.

研究动机与目标

• 解决一个关于精确量子通信复杂性中回合消除不可能性的猜想。
• 研究从超立方体 {0,1}^n 衍生的凯莱图在汉明距离 ≥ n/2 时的正交秩与对称正交秩。
• 建立这些图实现正交嵌入所需最小维数的下界，以解决该猜想。
• 使用谱分析与调和分析技术，分析图的结构及其嵌入约束。

提出的方法

• 在群 (ℤ₂)ⁿ 上定义凯莱图 H₂ⁿ(d)，其边连接在至少 d 个坐标上不同的顶点。
• 利用洛瓦兹θ函数作为松弛，通过与补图的对偶性来下界正交秩。
• 在布尔立方体上应用傅里叶分析，将θ函数重新表达为非负傅里叶系数的形式，且对高权集合无约束。
• 利用柯西–范德蒙德恒等式与二项式系数的界，控制候选函数的衰减。
• 利用博赫纳定理，将矩阵上的优化问题简化为仅依赖于差值的群上函数。
• 推导出对偶函数 g(0) 的最大值的上界，从而通过 ξ(G) ≥ 2ⁿ / ϑ(G) 得到正交秩的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 凯莱图 H₂ⁿ(n/2) 的正交秩能否被 n 的指数函数下界控制？
• RQ2 该图是否存在次指数维数的对称正交嵌入？
• RQ3 正交秩的指数下界是否意味着在精确量子通信中量子回合消除不可能？
• RQ4 H₂ⁿ(n/2) 的补图的洛瓦兹θ函数的渐近行为如何？
• RQ5 傅里叶分析技术能否用于推导此类凯莱图最小嵌入维数的紧致界？

主要发现

• 图 H₂ⁿ(n/2) 的正交秩 ξ(G) 至少为 exp(εn − c)，其中 ε > 0 且 c 为常数，从而确立了指数下界。
• 对称正交秩 ξ_sym(G) 同样至少为 exp(εn − c)，表明对称嵌入无法实现次指数维数。
• 图 H₂ⁿ(n/2) 的洛瓦兹θ函数 ϑ(G) 最多为 2⁻(εn−c)，通过互补性可推出 ϑ(Ḡ) ≥ 2^(εn−c)。
• θ函数松弛中对偶函数 g(0) 的最大值被上界控制为 2⁻(εn−c)，该结果通过二项式系数估计与柯西–范德蒙德恒等式推导得出。
• 分析确认不存在次指数维数的对称正交嵌入，从而解决了关于量子回合消除的猜想。
• 该结果意味着在精确量子通信模型中，无法通过常数倍的通信增加来补偿移除一轮通信的损失，从而证实了量子回合消除的不可能性。