[论文解读] On The Prime Numbers In Intervals

Kyle D. Balliet|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2017

Analytic Number Theory Research参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文通过初等数论与解析数论方法，将伯特兰猜想推广，证明当 $ 2 \leq k \leq 519 $ 且 $ n \geq k \geq 2 $ 时，区间 $ (kn, (k+1)n) $ 中始终至少存在一个素数。进一步表明，区间 $ (n, kn) $ 中的素数数量随 $ n $ 增大而增加，并给出了随 $ n $ 增长的显式下界，证实当 $ n \geq k $ 时，该区间中至少包含 $ k-1 $ 个素数。结果与素数定理一致，并扩展了对短区间内素数分布已知界限的理解。

ABSTRACT

Bertrand's postulate establishes that for all positive integers $n>1$ there exists a prime number between $n$ and $2n$. We consider a generalization of this theorem as: for integers $n\geq k\geq 2$ is there a prime number between $kn$ and $(k+1)n$? We use elementary methods of binomial coefficients and the Chebyshev functions to establish the cases for $2\leq k\leq 8$. We then move to an analytic number theory approach to show that there is a prime number in the interval $(kn, (k+1)n)$ for at least $n\geq k$ and $2\leq k\leq 519$. We then consider Legendre's conjecture on the existence of a prime number between $n^2$ and $ (n+1)^2$ for all integers $n\geq 1$. To this end, we show that there is always a prime number between $n^2$ and $(n+1)^{2.000001}$ for all $n\geq 1$. Furthermore, we note that there exists a prime number in the interval $[n^2,(n+1)^{2+\varepsilon}]$ for any $\varepsilon>0$ and $n$ sufficiently large. We also consider the question of how many prime numbers there are between $n$ and $kn$ for positive integers $k$ and $n$ for each of our results and in the general case. Furthermore, we show that the number of prime numbers in the interval $(n,kn)$ is increasing and that there are at least $k-1$ prime numbers in $(n,kn)$ for $n\geq k\geq 2$. Finally, we compare our results to the prime number theorem and obtain explicit lower bounds for the number of prime numbers in each of our results.

研究动机与目标

• 通过研究在 $ n \geq k \geq 2 $ 时，区间 $ (kn, (k+1)n) $ 中是否至少存在一个素数，推广伯特兰猜想。
• 确定区间 $ (n, kn) $ 中素数的最小数量，表明其随 $ n $ 增大而增加，并且当 $ n \geq k \geq 2 $ 时至少为 $ k-1 $。
• 使用解析与初等方法（包括切比雪夫函数与二项式系数近似）推导出此类区间中素数数量的显式下界。
• 将推导出的下界与素数定理进行比较，并证明当 $ n \to \infty $ 时，区间 $ (kn, (k+1)n) $ 中的素数数量趋于无穷大。

提出的方法

• 使用二项式系数 $ \binom{(k+1)n}{kn} $，并将其分解为三类素数的乘积：小素数（$ \leq \sqrt{(k+1)n} $）、中等素数（$ \sqrt{(k+1)n} < p \leq kn $）与大素数（$ kn+1 \leq p \leq (k+1)n $）。
• 应用切比雪夫函数 $ \vartheta(x) = \sum_{p \leq x} \log p $ 与 $ \psi(x) = \sum_{p^k \leq x} \log p $，以估计区间内素数对数和。
• 采用斯特林公式，并利用 $ l(n) < n! < u(n) $ 的阶乘界限，其中 $ u(n) $ 与 $ l(n) $ 为包含 $ \sqrt{2\pi} $、$ n^{n+1/2} $ 及修正项的渐近界。
• 使用公式 $ \beta(p) = \sum_{t=1}^\infty \left( \left\lfloor \frac{(k+1)n}{p^t} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{kn}{p^t} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{n}{p^t} \right\rfloor \right) $ 计算素数 $ p $ 在 $ \binom{(k+1)n}{kn} $ 中的指数。
• 应用函数 $ B_k(n,m) = \left\{ \frac{(k+1)n}{m} \atop \frac{kn}{m} \right\} / \left\{ \frac{(k+1)n}{2m} \atop \frac{kn}{2m} \right\} $，以细化二项式系数的界限，用于区间分析。
• 推导出 $ (kn, (k+1)n) $ 中素数乘积的下界，再通过除以最大素数大小 $ (k+1)n $，将其转换为素数数量的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些整数 $ k \geq 2 $ 与 $ n \geq k $，区间 $ (kn, (k+1)n) $ 中至少包含一个素数？
• RQ2 区间 $ (n, kn) $ 中保证存在的素数数量是多少？该数量是否随 $ n $ 增大而增加？
• RQ3 能否为 $ (kn, (k+1)n) $ 中的素数数量推导出显式下界？其与素数定理的预测如何比较？
• RQ4 勒让德猜想——即在 $ n^2 $ 与 $ (n+1)^2 $ 之间存在一个素数——在弱化形式下是否成立？对于足够大的 $ n $，使得区间 $ [n^2, (n+1)^{2+\varepsilon}] $ 恒包含一个素数的最小指数 $ \varepsilon $ 是多少？

主要发现

• 对于所有 $ 2 \leq k \leq 519 $ 且 $ n \geq k $，区间 $ (kn, (k+1)n) $ 中至少存在一个素数，该结论通过解析数论与二项式系数的界限得到证明。
• 区间 $ (n, kn) $ 中的素数数量至少为 $ \frac{n}{\log kn} \left( k - 1 - 3.965\left( \frac{k}{\log^2 kn} + \frac{1}{\log^2 n} \right) \right) $，该表达式随 $ n $ 增大而增加，且当 $ n $ 足够大时超过 $ k-1 $。
• 当 $ k = 8 $ 时，区间 $ (8n, 9n) $ 中的素数数量下界为 $ \log_{9n} \left[ 32549.3 e^{-1.001102(9n/19)} n^{-13} \left( \frac{9^9}{8^8} \right)^{17n/105} (9n)^{-2.51012\sqrt{9n}/\log(9n)} \right] $，当 $ n \to \infty $ 时趋于无穷大。
• 对于任意 $ \varepsilon > 0 $，存在 $ N $，使得对所有 $ n \geq N $，区间 $ [n^2, (n+1)^{2+\varepsilon}] $ 中至少包含一个素数。
• 当 $ n \to \infty $ 时，区间 $ (kn, (k+1)n) $ 中的素数数量趋于无穷大，证实对于足够大的 $ n $，该区间可包含任意多的素数。
• 推导出的 $ (n, kn) $ 中素数数量的下界与素数定理的渐近预测一致，并明确量化了这些预测。