[论文解读] On the probabilistic approach to the solution of generalized fractional differential equations of Caputo and Riemann-Liouville type

Ma. Elena Hernández-Hernández, Kolokoltsov, V. N.|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2015

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 36被引用 7

一句话总结

本文通过将算子解释为中断Feller过程的生成元，提出了一种用于求解广义分数阶微分方程（Caputo型与Riemann-Liouville型）的概率框架。该框架建立了适定性，并通过时间改变Lévy过程泛函的期望值推导出显式解，特别地采用β稳定子午线，得到了以Mittag-Leffler函数和稳定密度表示的闭式解。

ABSTRACT

This paper provides a probabilistic approach to solve linear equations involving Caputo and Riemann-Liouville type derivatives. Using the probabilistic interpretation of these operators as the generators of interrupted Feller processes, we obtain well-posedness results and explicit solutions (in terms of the transition densities of the underlying stochastic processes). The problems studied here include fractional linear differential equations, well analyzed in the literature, as well as their far reaching extensions.

研究动机与目标

• 开发一种基于概率的方法，用于求解涉及Caputo与Riemann-Liouville型算子的线性广义分数阶微分方程。
• 为包含多个时间变量中混合分数阶导数的方程建立适定性并推导显式解。
• 通过时间改变Lévy过程的转移密度与首次 hitting 时间，提供解的随机表示。
• 通过Feynman-Kac公式，为已知的Mittag-Leffler函数积分表示提供一种新的概率证明。
• 利用概率生成元将经典分数阶微分方程推广至多术语与混合型算子。

提出的方法

• 通过时间改变Lévy过程，将广义Caputo与Riemann-Liouville算子解释为中断Feller过程的生成元。
• 利用Feynman-Kac公式，将解表示为时间改变过程中路径上指数泛函积分的期望。
• 应用Doob的可选停时定理于与生成元相关的鞅，推导边界条件相容性。
• 利用时间改变过程及其首次 hitting 时间的联合密度，计算多维时间域中的解。
• 通过在有界可测函数空间上定义的预解算子与势算子构造解。
• 采用β稳定子午线及其逆子午线，建模分数阶动力学背后的时间改变机制。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用概率方法求解广义Caputo与Riemann-Liouville型分数阶微分方程？
• RQ2 中断Feller过程的生成元与广义分数阶导数之间有何关联？
• RQ3 能否为同时包含Caputo与Riemann-Liouville算子的混合型分数阶方程推导出显式解？
• RQ4 通过随机表示，解如何与Mittag-Leffler函数和稳定密度相关联？
• RQ5 已知的Mittag-Leffler函数积分表示的概率依据是什么？

主要发现

• 对于Caputo型方程 $-D_{a+*}^{\left(\nu\right)}u(t) = \nu u(t) - g(t)$ 且 $u(a) = u_a$，其解由一个随机表示给出，涉及β稳定子午线时间改变路径上 $g$ 的期望值。
• 对于包含算子 $-_{t_1}D_{0+}^{\left(\nu_1\right)}$ 与 $-_{t_2}D_{0+*}^{\left(\nu_2\right)}$ 的混合分数阶方程，其解表示为时间改变过程中路径的双重积分，联合密度涉及 $w_\beta$ 与 $w_\beta$ 稳定密度。
• 经典Caputo分数阶方程的解公式（以Mittag-Leffler函数表示）被概率性地重新推导为β稳定子午线首次 hitting 时间的期望。
• 通过β稳定子午线首次 hitting 时间的拉普拉斯变换，为Mittag-Leffler函数的积分表示建立了一种新的概率证明。
• 解算子在 $B[\textbf{0},\textbf{b}]$ 上有界且定义良好，当 $g$ 与边界数据满足温和正则性条件时，保证收敛。
• 当 $\lambda = 0$ 时，解由势算子 $\mathfrak{R}_0^{\textbf{0}+\left(\nu\right)*}$ 给出，将框架扩展至非指数衰减强迫项的情形。