[论文解读] On the $q$-partial differential equations and $q$-series

Zhi-Guo Liu|arXiv (Cornell University)|May 6, 2018

Mathematical functions and polynomialsMathematics参考文献 27被引用 19

一句话总结

本文建立了一般性展开定理，适用于满足一组 $q$-偏微分方程的多复变解析函数，表明其可表示为罗杰斯-谢戈利多项式级数。关键贡献是一个统一并推广已知结果的通用 $q$-变换公式，包括沃森的惠普尔定理 $q$-类比和卡尔茨的 $q$-梅勒公式，方法基于 $q$-指数微分算子和 $q$-级数恒等式理论。

ABSTRACT

Using the theory of functions of several complex variables, we prove that if an analytic function in several variables satisfies a system of $q$-partial differential equations, then, it can be expanded in terms of the product of the Rogers-Szegő polynomials. This expansion theorem allows us to develop a general method for proving $q$-identities. A general $q$-transformation formula is derived, which implies Watson's $q$-analog of Whipple's theorem as a special case. A multilinear generating function for the Rogers-Szegő polynomials is given. The theory of $q$-exponential operator is revisited.

研究动机与目标

• 开发一种利用 $q$-偏微分方程证明 $q$-恒等式的通用方法。
• 建立满足 $q$-PDE 的多变量解析函数在罗杰斯-谢戈利多项式下的展开定理。
• 推导一个涵盖已知结果（如沃森的惠普尔定理 $q$-类比）的通用 $q$-变换公式。
• 在 $q$-级数和正交多项式背景下，重新审视并扩展 $q$-指数算子理论。
• 构造罗杰斯-谢戈利与斯蒂尔杰斯-维格特多项式的多重线性生成函数。

提出的方法

• 利用多复变函数理论分析 $q$-偏微分方程的解。
• 应用 $q$-微分算子 $\mathcal{D}_{q,x}$ 及其高阶 $q$-微分公式，推导涉及 $q$-移位阶乘的恒等式。
• 利用罗杰斯-谢戈利多项式 $h_n(x,y|q)$ 及其 $q$-微分性质构造生成函数。
• 引入 $q$-指数算子 $T(b\mathcal{D}_{q,a})$ 以生成 $q$-级数的变换公式。
• 通过 $q$-指数算子恒等式推导罗杰斯-谢戈利多项式的多重线性生成函数。
• 将经典 $q$-级数变换（如西尔斯的 ${}_3\phi_2$ 公式）扩展至包含参数和 $q$-移位阶乘的形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 满足一组 $q$-偏微分方程的解析函数是否可展开为罗杰斯-谢戈利多项式？
• RQ2 统一已知 $q$-级数恒等式的通用 $q$-变换公式的通式是什么？
• RQ3 如何利用 $q$-指数算子推导新的生成函数与变换公式？
• RQ4 罗杰斯-谢戈利多项式的多重线性生成函数是什么？其与 $q$-级数恒等式有何关联？
• RQ5 罗杰斯-谢戈利与斯蒂尔杰斯-维格特多项式的 $q$-偏微分方程如何导出新的 $q$-梅勒公式？

主要发现

• 任何满足一组 $q$-偏微分方程的多变量解析函数均可展开为罗杰斯-谢戈利多项式级数。
• 推导出一个通用 $q$-变换公式，当特殊化时可退化为沃森的惠普尔定理 $q$-类比。
• 通过 $q$-指数算子显式构造了罗杰斯-谢戈利多项式的多重线性生成函数。
• 重新审视并扩展了 $q$-指数算子理论，导出了新恒等式与变换公式。
• 通过 $q$-指数算子框架，将卡尔茨对罗杰斯-谢戈利多项式 $q$-梅勒公式的扩展推广至更一般形式。
• 通过所提方法，获得了罗杰斯求和公式与安德鲁斯-阿斯key积分的推广形式。