[论文解读] On the reduction of the Siegel moduli space of abelian varieties of dimension 3 with Iwahori level structure

Philipp Hartwig|ArXiv.org|Nov 30, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文在正特征下，对具有Iwahori水平结构的阿贝尔三倍积模空间到主极化阿贝尔三倍积模空间的典范投影的纤维提供了显式的几何描述。利用Dieudonné理论与旗流形，本文确定了这些纤维的结构，并证明了Iwahori水平结构空间中的超奇异点集是等维的，且精确计算了Kottwitz-Rapoport子簇与超奇异点集交集的维数。

ABSTRACT

We study the moduli space of abelian threefolds with Iwahori level structure in positive characteristic. We explicitly determine the fibers of the canonical projection to the moduli space of principally polarized abelian varieties and draw conclusions about the relationship between the Ekedahl-Oort, the Kottwitz-Rapoport and the Newton stratification on these spaces.

研究动机与目标

• 显式描述典范投影 π: 𝒜_I → 𝒜_g 在 g=3 时的纤维，其中 𝒜_I 参数化具有Iwahori水平结构的阿贝尔三倍积，而 𝒜_g 参数化主极化的阿贝尔三倍积。
• 分析Iwahori水平结构模空间上Kottwitz-Rapoport (KR)、Ekedahl-Oort (EO) 与牛顿子簇之间的关系。
• 确定哪些KR子簇与超奇异点集 𝒮_I 非平凡相交，并计算这些交集的维数。
• 在 g=3 的情形下，建立KR子簇与超奇异点集交集的等维性。
• 通过约化方法将函数域情形的洞察推广至算术情形，建立KR子簇与仿射Deligne-Lusztig簇之间的联系。

提出的方法

• 利用经典的Dieudonné理论，将每个纤维 π⁻¹(A) 嵌入到 𝔽̄_p 上的旗流形中，将其视为普遍单射的有限态射。
• 将每个纤维的像刻画为全旗流形中的闭子簇 Flag^⊥,F,V_ψ ⊂，其由基点 A 的Ekedahl-Oort子簇所关联的最终序列 ψ 所决定。
• 应用GSp_6的扩展仿射Weyl群中可接受集的理论，通过 Adm(μ) ∩ W_aτ 中的元素来参数化KR子簇。
• 使用基于命题 LABEL:DimProp 的维数论论证，比较纤维与子簇闭包的维数。
• 通过纤维像的显式矩阵模型分析不可约性与维数，特别是针对0维EO子簇的情形。
• 利用Deligne-Lusztig理论中的约化技术，将 𝒜_I,x ∩ 𝒮_I 的几何结构与函数域情形下的仿射Deligne-Lusztig簇联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 g=3 的Iwahori水平结构模空间中，哪些Kottwitz-Rapoport子簇与超奇异点集非平凡相交？
• RQ2 在 g=3 的情形下，每个KR子簇与超奇异点集的交集的维数是多少？
• RQ3 每个KR子簇与超奇异点集的交集是否为等维的？
• RQ4 在 g=3 的Iwahori水平结构空间上，Ekedahl-Oort子簇与牛顿子簇如何相互作用？
• RQ5 纤维 π⁻¹(A) 的几何结构在多大程度上反映了其底层Barsotti-Tate群及其Dieudonné模的结构？

主要发现

• 对于0维的Ekedahl-Oort子簇（ψ₀），纤维 π⁻¹(A) 与旗流形 Flag^⊥,F,V_ψ₀ 之间存在普遍同胚，该旗流形分解为不可约分支：一个全旗流形 Y，一个在另一 ℙ¹-丛上的 ℙ¹-丛 Z，以及一个参数为 ℙ²(𝔽_{p²}) 中一条曲线的 ℙ¹ 的族。
• 超奇异点集 𝒮_I ⊂ 𝒜_I 是等维的，维数为3，且 𝒮_I 的每个不可约分支都是某个KR子簇闭包的分支。
• 对于对应于 x ∈ {s₃₁₀τ, s₃₂₀τ, s₃₁₂₀τ, s₂₃₀₁τ} 的KR子簇，交集 𝒜_I,x ∩ 𝒮_I 的维数分别为2或3，且均为等维的。
• 交集 𝒜_I,x ∩ 𝒮_I 为维数 n 的等维子簇，当且仅当函数域情形下对应的仿射Deligne-Lusztig簇为维数 n 的等维子簇，暗示了深层的类比关系。
• 在超特殊点集中的2维Ekedahl-Oort子簇不包含于超奇异点集中，这意味着3维EO子簇与 𝒮₃ 的交集为稠密开子集。
• 在超特殊阿贝尔簇 A ∈ 𝒜₃(𝔽̄_p) 上的纤维与 Flag^⊥,F,V_ψ₀ 之间存在普遍同胚，其像为闭、不可约且等维的，维数为3。